Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат.
Кривой 2–го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
|
(1) |
где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .
Сформулируем цель дальнейших преобразований: перейти к такой системе координат, в которой уравнение (1) имело бы наиболее простой вид.
1. Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy ( b = 0 ).
Обозначим x,y координаты точки M в системе координат XOY .
Повернем оси координат на угол j в положительном направлении и обозначим x‘, y‘ координаты точки M в новой системе координат X‘OY‘ (см. рис. 1).
Выразим старые координаты точки M через новые с помощью тригонометрии:
|
Подставим в уравнение кривой (1) и вычислим коэффициент при произведении xy :
a ( −2sinj cosj) + 2b (cos2j − sin2j) + c (2sinjcosj) = (c − a) sin2j + 2bcos2j.
Этот коэффициент равен нулю в одном из двух случаев:
- c = a и cos2j = 0 ,
- c ≠ a и tg 2j = 2b/(a − c) .
Очевидно, что всегда можно повернуть систему координат так, что в новой системе уравнение кривой будет иметь вид
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
где A2 + C2 ≠ 0 (штрихи у новых координат мы опускаем).
Разобьем все кривые 2–го порядка, описываемые уравнением (2) на два класса:
I. A ≠ 0 , C ≠ 0 .
II. A = 0 , C ≠ 0 или A ≠ 0 , C = 0.
Класс I. A ≠ 0 , C ≠ 0 .
Выделим в уравнении кривой полные квадраты:
| A | x2 + 2
A x +
−
|
+ C | y2 + 2
C y +
−
|
+ F = 0. |
Обозначив K = F − D2/A − E2/C , получим
| A | x +
|
2 + C | y +
|
2 + K = 0 |
Введем новую систему координат
|
которая получена параллельным переносом так, чтобы начало координат находилось в точке O‘( − D/A, − E/C) (см. рис. 2).
В новой системе координат уравнение кривой 2–го порядка I класса имеет вид (штрихи вновь опускаем):
|
(3) |
Рассмотрим возможные случаи:
1. AC>0 (одинаковые знаки), AK<0>
+
= 1 , |
где a2 = − K/A и b2 = − K/C . Линия, описываемая этим уравнением, является эллипсом.
2. AC>0 (одинаковые знаки), AK>0 (одинаковые знаки). Уравнение можно представиить в виде
| Ax2 + By2 = − K. |
Это уравнение не определяет никакой линии (пустое множество) .
3. AC>0 , AK = 0 . Уравнение можно представиить в виде
| Ax2 + By2 = 0. |
Это уравнение определяет единственную точку x = 0 , y = 0 .
4. AC<0>K ≠ 0 . Получаем уравнение
−
= 1, (AK<0, CK>0), |
где a2 = − K/A и b2 = K/C , либо уравнение
−
+
= 1, (AK>0, CK<0), |
где a2 = K/A и b2 = − K/C .
Линия, описываемая любым из этих уравнений, является гиперболой.
5. AC<0>K = 0 . Получаем уравнение
| x2 − | −
|
y2 = 0. |
Это уравнение распадается на два уравнения, определяющие пару прямых, пересекающихся в начале координат,
x + √
y = 0 и x − √
y = 0. |
Класс II. A = 0 , C ≠ 0 или A ≠ 0 , C = 0 .
Возможны следующие случаи:
1. A = 0 , C ≠ 0 , D ≠ 0 . Имеем уравнение
| Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. |
Выделим полный квадрат
| C | y2 + 2
C y +
−
|
+ 2Dx + F = 0 |
Преобразуем это уравнение
| C | y +
C |
2 + 2D | x +
|
= 0 . |
Введем новую систему координат
x‘ = x +
| F − E2/C |
| 2D |
y‘ = y +
| E |
| C |
которая получена параллельным переносом так, чтобы начало координат находилось в точке O‘
−
, − E/C |
. В новой системе координат уравнение кривой имеет вид
Cy‘2 + 2Dx‘ = 0 .
Опустив штрихи и обозначив − D/C = p , получаем
y2 = 2px.
Линия, описываемая этим уравнением, является параболой.
Если A ≠ 0 , C = 0 и E ≠ 0 , аналогично получаем
x2 = 2py .
Линия, описываемая этим уравнением, также является параболой.
Если D = 0 , A = 0 и C ≠ 0 , то имеем уравнение
Cy2 + 2Ey + F = 0 .
В зависимости от дискриминанта E2 − CF это уравнение определяет
- две прямые, параллельные оси OX
y =
−E ± √ E2 − CF C при E2 − CF > 0 ;
- прямую, параллельную оси OX
y = −
E C при E2 − CF = 0 ;
- пустое множество при E2 − CF < 0 .
Вывод. Кривая 2–го порядка, определяемая уравнением (1), принадлежит к одному из следующих типов:
- эллипс;
- гипербола;
- парабола;
- пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих);
- точка;
- пустое множество.
