- При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется, т.е.
det AT = det A. Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов определителя, справедливо также и для строк.
- При перестановке двух столбцов (или строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
- Если матрица имеет два одинаковых столбца (или две одинаковые строки), то ее определитель равен нулю.
- Если все элементы какого–нибудь столбца (или строки) матрицы умножить на одно и то же число, то ее определитель умножится на это число.
- Если матрица содержит столбец (строку), состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.
- Если элементы какого–нибудь столбца (строки) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель этой матрицы можно представить в виде суммы двух определителей, а именно:
a‘11 + a»11 a12 … a1n a‘21 + a»21 a22 … a2n … … … … a‘n1 + a»n1 an2 … ann = a‘11 a12 … a1n a‘21 a22 … a2n … … … … a‘n1 an2 … ann + a»11 a12 … a1n a»21 a22 … a2n … … … … a»n1 an2 … ann - Если соответствующие элементы двух столбцов (строк) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
- Если к элементам какого–нибудь столбца (строки) матрицы прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.
- Сумма произведений элементов любого столбца (строки) матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.
- Теорему о разложении определителя по строке или столбцу и свойство 9 можно объединить в формулы
| k = 1 n∑ aik A jk = |
|
| k = 1 n∑ akiA kj = |
|
