Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

м п п н п п о	`a`11 `x`1 + `a`12 `x`2+…+`a`1`n` `xn`=b</>1
	`a`21 `x`1 + `a`22 `x`2+…+`a`2`n` `xn`=b</>2
	…………………………..
	`an`1 `x`1 + `an`2 `x`2+…+`ann` `xn`=b</>`n`

Расширенная матрица этой системы имеет вид

ж з з з з и	`a`11	`a`12	…	`a`1`n`	з з з з з з	b</>1	ц ч ч ч ч ш
	`a`21	`a`22	…	`a`2`n`		b</>2
	…	…	…	…		…
	`an`1	`an`2	…	`ann`		b</>`n`

Метод Гаусса основывается на следующих утверждениях.

I. Системы уравнений, полученные в результате следующих преобразований:

перестановка уравнений;
умножение уравнения на любое число. отличное от нуля;
прибавление одногоуравнения, умноженного на любое число, к другому уравнению,

являются эквивалентными, т.е. имеют одни и те же решения.

II. Преобразованиям уравнений системы, очевидно, соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:

перестановка строк;
умножение всех элементов строки на любое число. отличное от нуля;
прибавление элементов одной строки, умноженных на одно и то же число, к соответствующим элементам другой строки.

Матрицы A и B, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований строк, называются эквивалентными, что обозначается A ~ B.

Чтобы решить систему n уравнений с n неизвестными, нужно расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк привести к такому виду, чтобы основная матрица системы (стоящая слева от черты) была приведена к единичной, тогда на месте столбца свободных членов (справа от черты) окажется решение системы:

ж
з
з
з
з
и

a11

a12

…

a1n

з
з
з
з
з
з

b</>1

ц
ч
ч
ч
ч
ш

ж
з
з
з
з
и

…

з
з
з
з
з
з

x10

ц
ч
ч
ч
ч
ш

a21

a22

…

a2n

b2

…

x20

…

an1

an2

…

ann

bn

…

xn0

Ответ: x1 = x10, x2 = x20, …, xn = xn0.

Метод Гаусса является наиболее широко распространенным методом решения задач линейной алгебры; как вы увидите в дальнейшем, с его помощью решаются самые разные задачи.