Линейная алгебра возникла в процессе развития теории систем линейных уравнений. Идею общего метода решения таких систем высказал Лейбниц в 1693 году. Она была реализована швейцарским математиком Крамером (G. Cramer, 1704-1752) в 1752 году. Он сформулировал и обосновал правило, носящее теперь его имя, которое позволяет решать системы n линейных уравнений с n неизвестными и буквенными коэффициентами. По правилу Крамера каждая неизвестная равна отношению двух определителей. Крамер, фактически, заложил основы теории определителей, хотя и не предложил для них удобного обозначения (это сделал в 1841 году А. Кэли). В 1772 году Вандермонд (A.T. Vandermonde, 1735-1796) опубликовал обширное исследование определителей, один из которых носит теперь его имя. Систематическое изложение этой теории принадлежит Бине (J.F.M. Binet, 1786-1856) и Коши (A.L. Cauchy, 1789-1857). Их труды по теории определителей относятся к периоду 1812-1815 гг.
Коэффициенты системы линейных уравнений и свободные члены удобно сводить в таблицы, называемые матрицами системы. Постепенно определители систем стали относить к матрицам систем. В 1849 году Гаусс (C.F. Gauss, 1777-1855) предложил новый метод решения систем линейных уравнений. Этот метод естественно формулируется в виде правил преобразования так называемой расширенной матрицы системы.
