Пример 1. Построим матрицу оператора подобия ^K: X → X : «x О X y = kx .
Решение.
Пусть e1, e2, … , en — базис в Xn . Найдем координаты образов базисных векторов:
^Ke1 = ke1 = {k, 0, 0, … , 0} ,
^Ke2 = ke2 = {0, k, 0, … , 0} ,
… … … … … … … … … ,
^Ken = ken = {0, 0, … , 0, k} .
Координатные столбцы образов базисных векторов — это столбцы искомой матрицы оператора подобия:
| K = |
|
Замечания.
1. Матрица оператора подобия — диагональная матрица, причем K = k · E , где E — единичная матрица. Матрицы вида k · E называются скалярными.
2. Матрица оператора подобия не зависит от выбора базиса (в общем случае это не так).
3. Частные случаи оператора подобия:
а) матрица тождественного оператора (k = 1) ^E : ^Ex = x :
| E = |
|
— единичная матрица;
б) матрица нулевого оператора (k = 0) ^O: ^Ox = θ :
| O = |
|
— нулевая матрица.
Пример 2. Построим матрицу оператора проецирования ^P множества геометрических векторов на плоскости V2 на ось абсцисс в базисе →i , →j .
Решение.
Найдем координаты образов базисных векторов:
| ^P→i = →i = {1, 0}, ^P→j = →0 = {0, 0} |
и запишем координатные столбцы образов базисных векторов ^P→i и ^P→j в качестве столбцов искомой матрицы.
Таким образом, матрица оператора проецирования имеет вид:
| P = |
|
Замечание. Очевидно, что оператор ^P действует из V2 в V1 . Поэтому, если в пространстве V2 взять базис →i , →j , а в пространстве V1 (пространство векторов, лежащих на оси OX ) — базис →i , то
^P→i = →i = {1} ,
^P→j = →0 = {0} .
Следовательно, в этих базисах матрица оператора проецирования (1 0) — матрица размера 1 × 2 . Подчеркнем еще раз, что матрица оператора зависит от выбора базисов.
Пример 3. Построим матрицу оператора поворота ^A множества геометрических векторов на плоскости V2 на угол j против часовой стрелки в базисе →i , →j .
Решение.
Найдем координаты образов базисных векторов (см. рис. 1):
^A→i = cosj · →i + sinj · →j = {cosj, sinj} ,
^A→j = −sinj · →i + cosj · →j = { −sinj, cosj}
и запишем координатные столбцы образов базисных векторов
^A→i и ^A→j в качестве столбцов искомой матрицы.
Таким образом, матрица оператора поворота имеет вид
| A = |
|
Пример 4. Найдите матрицу оператора зеркального отражения множества геометрических векторов на плоскости V2 относительно оси ординат в базисе →i , →j (см. рис. 2).
Пример 5. Построим матрицу оператора дифференцирования ^D в пространстве многочленов степени, меньше или равной n , в базисе 1, t, t2, … , tn .
Решение.
Найдем координаты образов базисных векторов
^D1 = 1′ = 0 = 0 · 1 + 0 · t + … + 0 · tn = {0, 0, … , 0} ,
^Dt = t‘ = 1 = 1 · 1 + 0 · t + … + 0 · tn = {1, 0, … , 0} ,
^Dt2 = (t2)’ = 2t = 0 · 1 + 2 · t + … + 0 · tn = {0, 2, … , 0} ,
… … … … … … … … … … … …
^Dtn = (tn)’ = ntn − 1 = 0 · 1 + 0 · t + … + n · tn − 1 + 0 · tn = {0, 0, … , n, 0} .
Таким образом, матрица оператора дифференцирования имеет вид
| D = |
|
Пример 6. Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства X3 заданы произвольный вектор x = {α1, α2, α3} и его образ
| ^Ax = {2α1 + α2 − α3, 2α1, 0}. |
Построим матрицу оператора ^A (в том же базисе).
Решение.
Поскольку строки матрицы оператора определяются как коэффициенты в выражении координат образа через координаты прообраза, получаем
| A = |
|
