Пример 1. Установим совместность и найдем общее решение неоднородной системы линейных уравнений
|
Решение.
1. Исследуем совместность системы, для чего запишем ее расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссовому) виду:
| Aрасш = |
|
~ |
|
. |
Очевидно, что ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы (столбец свободных членов расширенной матрицы есть линейная комбинация 1–го и 2–го базисных столбцов): Rg Aрасш = Rg A = 2 . По теореме Кронекера–Капелли система совместна.
2. Найдем фундаментальную систему и общее решение соответствующей однородной системы
|
Пусть ^A: X3 → X3 — линейный оператор, заданный в некотором базисе e1, e2, e3 матрицей системы A . В соответствии с определением матрицы оператора, ее столбцы — это координатные столбцы образов базисных векторов ^A e1, ^A e2, ^A e3 (для наглядности мы запишем эти векторы над верхней строкой матрицы A ):
| ^Ae1 | ^Ae2 | ^Ae3 | |||||||||
| 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 3/7 | ||||||
| A = | 3 | −1 | 1 | ~ | 0 | 1 | 2/7 | ||||
| 2 | 4 | 2 | 0 | 0 | 0 |
Имеем:
Rg ^A = dim Img ^A = 2 Ю dim Ker ^A = 3 − 2 = 1.
Поскольку фундаментальной системой решений однородной системы называется базис ядра оператора ^A (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A ), то нужно найти базис в Ker ^A , состоящий из одного вектора.
Имеем
^A e3 = 3/7 · ^A e1 + 2/7 · ^A e2.
Перенесем все слагаемые в одну сторону и воспользуемся линейностью оператора:
^A ( e3 − 3/7 e1 − 2/7 e2 ) = θ.
По определению Ker ^A = {«x: ^A x = θ } . Следовательно, вектор, стоящий в скобках h1 = e3 − 3/7 e1 − 2/7 e2 принадлежит ядру оператора и образует в нем базис. И следовательно, фундаментальная система решений состоит из одного решения:
| X1 = | e3 − 3/7 e1 − 2/7 e2 | = |
|
−3/7 |
|
−2/7 |
|
= |
|
. |
Сделаем проверку, подставив это решение в однородную систему уравнений.
Общее решение однородной системы имеет вид
| X>о.о. = C1 · X1 = C1 · |
|
где C1 — произвольная постоянная.
3. Найдем какое–нибудь частное решение неоднородной системы. Очевидно, что столбец свободных членов B расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы A ( A1 и A2 ):
B = 1 · A1 + 1 · A2.
Добавляя к этому выражению 3–й столбец с нулевым коэффициентом, получим
| B = 1 · A1 + 1 · A2 + 0 · A3. | (1) |
Если сравнить это выражение с исходной неоднородной системой, записанной в виде
A1 · x1 + A2 · x2 + A3x3 = B,
то станет ясно, что коэффициенты в (1) образуют частное решение неоднородной системы: x1 = 1 , x2 = 1 и x3 = 0 , т.е.
| Xч.н. = |
|
Сделаем проверку, подставив Xч.н. в исходную систему уравнений.
Ответ. Общее решение системы имеет вид:
| Xо.н. = |
|
+ C1 · |
|
, |
где C1 — произвольная постоянная.
Пример 2. Установим совместность и найдем общее решение неоднородной системы линейных уравнений
|
Решение.
1. Исследуем совместность системы, для чего запишем ее расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований строк (которые мы здесь опускаем) приведем ее к редуцированному (гауссову) виду:
| Aрасш = |
|
~ |
|
. |
Очевидно, что ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы (столбец свободных членов расширенной матрицы есть линейная комбинация 1–го и 2–го базисных столбцов): Rg Aрасш = Rg A = 2 . По теореме Кронекера–Капелли система совместна.
2. Найдем фундаментальную систему и общее решение соответствующей однородной системы
|
Пусть ^A: X5 → Y3 — линейный оператор, заданный в некоторых базисах матрицей системы A . Обозначим e1, e2, e3, e3, e4, e5 базис пространства X5 . Тогда в соответствии с определением матрицы оператора, ее столбцы — это координатные столбцы образов базисных векторов ^A e1, … , ^Ae5 (для наглядности мы запишем эти векторы над верхней строкой матрицы A ):
| ^Ae1 | ^Ae2 | ^Ae3 | ^Ae4 | ^Ae5 | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | −3 | 0 | 1 | 0 | 5/2 | −3/2 | 2 | |||||
| 2 | −1 | 3 | 0 | 4 | ~ | 0 | 1 | 2 | −3 | 0 | ||||
| 2 | 0 | 5 | −3 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Имеем:
Rg ^A = dim Img ^A = 2 Ю dim Ker ^A = 5 − 2 = 3.
Поскольку фундаментальной системой решений однородной системы называется базис ядра оператора ^A (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A ), то нужно найти базис в Ker ^A , состоящий из трех векторов.
Имеем
^A e3 = 5/2 ˜A e1 + 2 ˜A e2 Ю ^A ( e3 − 5/2 e1 − 2 e2 ) = θ Ю
h1 = e3 − 5/2 e1 − 2 e2 О Ker ^A.
Таким образом, мы нашли первый вектор ядра:
| h1 = |
|
. |
Так как Ker ^A М X5 , количество координат у базисных векторов ядра должно быть равно пяти!
Аналогично находим остальные векторы ядра: h2 = 3/2 e1 + 3e2 + e4 и h3 = 2e1 − e5 , т.е.
| h2 = |
|
и h3 = |
|
. |
Таким образом, фундаментальная система состоит из трех линейно независимых решений:
| X1 = |
|
, X2 = |
|
и X3 = |
|
. |
Сделаем проверку, подставив эти решения в однородную систему уравнений.
Общее решение однородной системы имеет вид:
| Xо.о. = C1 · X1 + C2 · X2 + C3 · X3 = C1 · |
|
+ C2 · |
|
+ C3 · |
|
где C1 , C2 и C3 — произвольные постоянные.
3. Найдем какое–нибудь частное решение неоднородной системы. Очевидно, что столбец свободных членов B расширенной матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов матрицы A ( A1 и A2 ):
B = 2 · A1 − 1 · A2.
Добавляя к этому выражению остальные столбцы с нулевыми коэффициентами, получим
| B = 2 · A1 − 1 · A2 + 0 · A3 + 0 · A4 + 0 · A5. | (2) |
Если сравнить это выражение с исходной неоднородной системой, записанной в виде
A1 · x1 + A2 · x2 + A3 · x3 + A4 · x4 + A5 · x5 = B,
то станет ясно, что коэффициенты в (2) образуют частное решение неоднородной системы: x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 0 , x4 = 0 , x5 = 0 т.е.
| Xч.н. = |
|
. |
Сделаем проверку, подставив Xч.н. в исходную систему уравнений.
Ответ. Общее решение системы
| Xо.н. = |
|
+ C1 · |
|
+ C2 · |
|
+ C3 · |
|
, |
где C1 , C2 и C3 — произвольные постоянные.
