Пример 1. Покажем, что точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости x − y + 1 = 0 .
Решение. Подставляем координаты точки x = 1 , y = 2 и z = 10 в уравнение плоскости x − y + 1 = 0 . Получаем
1 − 2 + 1 = 0 Ю 0 ≡ 0
Так как уравнение превратилось в тождество, точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости x − y + 1 = 0 .
Пример 2. Найдем точки пересечения плоскости x − y + 1 = 0 с осями координат.
Решение.
1. Чтобы найти точку пересечения плоскости x − y + 1 = 0 с осью OX , надо решить систему уравнений
|
Получаем x = −1 , y = 0 , z = 0 .
2. Чтобы найти точку пересечения плоскости x − y + 1 = 0 с осью OY , надо решить систему уравнений
|
Получаем x = 0 , y = 1 , z = 0 .
3. Чтобы найти точку пересечения плоскости x − y + 1 = 0 с осью OZ , надо решить систему уравнений
|
Система не имеет решений. Следовательно, плоскость x − y + 1 = 0 параллельна оси OZ .
Пример 3. Найдем нормальный вектор плоскости x − z + 2 = 0 и опишем ее положение в пространстве относительно координатных осей.
Решение.
1. В качестве нормального вектора плоскости x − z + 2 = 0 возьмем вектор, координаты которого равны коэффициентам при x , y и z в уравнении плоскости, т.е.
| → |
| n |
= {1, 0, −1} .
2. Находим точки пересечения плоскости x − z + 2 = 0 с осями координат, решая соответствующие системы уравнений (см. задачу 2). Получаем точки пересечения: с осью OX ( −2, 0, 0) , с осью OZ (0, 0, 2) , с осью OY плоскость не пересекается.Следовательно, плоскость x − z + 2 = 0 параллельна оси OY .
Пример 4. Составим уравнение координатной плоскости XOY .
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) перпендикулярно данному вектору
| → |
| n |
= {A, B, C} имеет вид
|
(1) |
Выберем в качестве нормального вектора плоскости XOY базисный вектор
| → |
| k |
= {0, 0, 1} , а в качестве точки, принадлежащей плоскости XOY , — начало координат O(0, 0, 0) . Тогда уравнение (1) приобретает вид:
| 0 (x − 0) + 0 (y − 0) + 1 (z − 0) = 0 Ю z = 0. |
Таким образом, уравнение плоскости XOY : z = 0 .
Пример 5. Найдем углы между плоскостями 2x + 2y + z − 1 = 0 и x + z − 1 = 0 .
Решение. Поскольку двугранные углы между плоскостями равны углам между нормальными векторами этих плоскостей (
| → |
| n |
1 = {2, 2, 1} и
| → |
| n |
2 = {1, 0, 1} ), имеем
cosj =
=
=
=
. |
Таким образом, углы между плоскостями равны π/4 и 3π/4 .
Пример 6. Составим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M(1, 2, 3), N(0, 2, −2) и P( 3, 1, 0) (рис.1).
Решение.
1. Пусть Q(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим векторы MQ = {x − 1, y − 2, z − 3} , MN = { −1, 0, −5} и MP = {2, −1, −3} . Точка Q принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы MQ , MN и MP компланарны.
2. Условие компланарности трех векторов
|
= 0 . |
3. Разлагая определитель по первой строке, после несложных преобразований получаем уравнение искомой плоскости:
| 5x + 13y − z − 28 = 0 . |
Рекомендуем сделать проверку, подставив в уравнение плоскости координаты точек M, N и P .
