Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки
a = (a1, a2, … , an) О Rn , за исключением, быть может, самой точки a.
Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке a = (a1, a2, … , an), если
«ε > 0 $δ ε > 0 : x О Oδ(a) Ю |f(x) − A| < ε
Обозначение:
| lim |
| x → a |
f(x) = A.
В пространстве R2 предел функции f(x,y) в точке a(a1, a2) принято обозначать следующим образом:
| lim |
| x → a1 y → a2 |
f(x, y) = A. или
|
lim |
| x → a1 y → a2 |
f(x, y) = A.
Замечания.
- Определение предела функции n переменных в точности совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки a теперь не интервал (a − δ, a + δ), а n–мерный открытый шар
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + … + (xn − an)2 < δ2.
- Если a — граничная точка области определения D(f) функции f, то определение предела уточняется следующим образом (аналогично понятию одностороннего предела функции одной переменной):
«ε >0 $δε > 0: x О Oδ(a) ∩ D(f) Ю |f(x) − A|<ε.
Теорема 1. Пусть функции n переменных f(x) и g(x), определены в области D М Rn и для некоторой точки a
| lim |
| x → a |
| lim |
| x → a |
Тогда
| lim |
| x → a |
[f(x) + g(x)] = A + B,
| lim |
| x → a |
f(x) · g(x) = A · B, и при B ≠ 0
| lim |
| x → a |
| f(x) |
| g(x) |
=
| A |
| B |
.
Теорема доказывается так же, как для функции одной переменной.
Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке a, если
| lim |
| x → a |
f(x) = 0.
Определения и теоремы о бесконечно малых функций одной переменной справедливы для бесконечно малых функций нескольких переменных.
