Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2, … , an) О Rn (включая саму точку a).
Определение 1. Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если
f(x) = f(a). |
Обозначим приращения аргументов символами Δx1 = x1 − a1, Δx2 = x2 − a2, …, Δxn = xn − an. Соответствующее приращение функции u=f(x)
| Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2, … , an + Δxn) − f(a1, a2, … , an). |
называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению
Δx = {Δx1, Δx2, …, Δxn}.
Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию
Δu = 0. |
Приращение
| δxku = f(a1, … , ak + Δxk, … , an) − f(a1, a2, … , an) |
называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δxk аргумента xk.
Определение 2. Функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) называется непрерывной в точке a = (a1, a2, … , an) по переменной xk , если
δxku = 0. |
Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1, x2, … , xn .
Обратное утверждение неверно.
Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D М Rn и непрерывны в точке a = (a1, a2, … , an) О D .
Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a
Доказательство получается из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.
Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.
Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве (компакте):
Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.
Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.
