Пусть функция u = f(x1, x2, … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2, … , an) .
Пусть
| δxku = f(a1, … , ak + Δxk, … , an) − f(a1, a2, … , an) |
— частное приращение функции u в точке a , соответствующее приращению Δxk аргумента xk .
Определение 1. Если существует предел
, |
то он называется частной производной функции u = f(x) по аргументу xk в точке a.
Эта частная производная обозначается любым из символов:
(a),
|
x = a, u‘xk (a), uxk(a). |
Так как в определении частной производной по xk значения всех аргументов, кроме xk , не изменяются, эта частная производная вычисляется по тем же правилам, что и производная функции одной переменной xk .
Односторонние частные производные определяются аналогично односторонней производной функции одной переменной.
Геометрический смысл частных производных:
Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y) , определенную в некоторой окрестности точки (x0, y0) . Пусть она имеет в этой точке частную производную
f‘x(x0, y0) =
f(x, y0) |
x = x0 = tg α. |
Согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной f(x, y0) , α является углом между осью OX и касательной к графику этой функции, т.е. к кривой, определяемой системой уравнений
|
в точке (x0, y0, z0) , где z0 = f(x0, y0) (рис. 1):
