Интегрирование рациональных функций

Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде отношения двух многочленов. Например, если R(x) — рациональная функция одной переменной x, то

R(x)   =   am xm + am − 1 xm − 1 + … + a1 x + a0 bn xn + bn − 1 xn − 1 + … + b1 x + b0   ≡   Pm(x) Qn(x)  .

Здесь, как обычно, индексы у   Pm(x)   и   Qn(x)   указывают степени этих многочленов .

Многочлены являются рациональными функциями (у них знаменатели тождественно равны единице). Если рациональная функция не является многочленом, то она называется дробной .

Рациональная функция называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильной, если степень многочлена в числителе больше либо равна степени многочлена в знаменателе .

Неправильная рациональная функция представима в виде

Pm Qn   =   Lm − n   +   Us Qn                 (s < n),

где Lm − n — многочлен степени (m − n) , называемый целой частью рациональной функции. Он находится путем деления многочлена Pm на Qn . Многочлен Us — остаток при этом делении.

При интегрировании рациональных функций используется следующая теорема о разложении рациональной функции:

Теорема Правильную рациональную функцию одной переменной x можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей

A (x − a)k ,         Mx + N (x2 + 2px + q)k        (p2 − q < 0),

где A , M , N , a , p , q — действительные числа и k — натуральные числа.

В этой сумме каждому действительному нулю a кратности k знаменателя Qn(x) соответствуют k слагаемых

A1 x − a   +   A2 (x − a)2   +   …   +   Ak (x − a)k .

Каждой паре комплексно сопряженных нулей кратности k знаменателя Qn(x) (являющихся нулями квадратного трехчлена x2 + 2px + q ) соответствуют k слагаемых

M1x + N1 x2 + 2px + q   +   M2x + N2 (x2 + 2px + q)2   +   …   +   Mlx + Nl (x2 + 2px + q)l .

Представление правильной рациональной функции в виде суммы элементарных дробей называется разложением на элементарные дроби.

Коэффициенты элементарных дробей, фигурирующих в разложении, однозначно определяются условием тождественности правильной рациональной функции и ее разложения.

Алгоритм интегрирования рациональной функции R(x)

1. Выделяем целую часть, если функция R(x) неправильная.
2. Находим нули знаменателя функции R(x).
3. Разлагаем знаменатель функции R(x) на линейные множители, соответствующие действительным нулям и квадратные трехчлены, соответствующие парам комплексно сопряженных нулей знаменателя.
4. Разлагаем правильную часть функции R(x) на сумму элементарных дробей.
5. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби.
6. Складываем полученные интегралы.