Примеры

Пример 1. Найдем интеграл

∫ sin x 2 + sin x  dx.

Решение.

1. Требуется найти интеграл от функции f(x) = R(sin x) , где R(u) = u/(2 + u) — рациональная функция. Воспользуемся универсальной подстановкой

x = 2arctg t,     t = tg  x 2 ,    x  О  ( − π, π)  t  О  ( − ∞,  + ∞) .

Выражаем sin x и dt через t и dt :

sin x = sin(2arctg t)   =   2t 1 + t2 ,         dx = d(2arctg t)   =   2 1 + t2  dt

и подставляем в подынтегральное выражение. Получаем:

∫   sin x 2 + sin x  dx   =   ∫   2t 1 + t2 2  +   2t 1 + t2   2 1 + t2  dt   =   ∫   2t (t2 + t + 1) (t2 + 1)  dt      при t = tg x 2 .

2. Вычисляем интеграл от рациональной функции переменной t :

∫ 2t (t2 + t + 1) (t2 + 1)  dt   =   2 arctg t   −  4 √ 3  arctg 2t + 1 √ 3   +  C.

3. Возвращаемся к переменной x , подставляя t = tg(x/2) . Получаем искомый интеграл:

∫ sin x 2 + sin x  dx   =   x   −   4 √ 3  arctg  2tg(x/2) + 1 √ 3   +  C ,         x  О  ( − π, π).

Пример 2. Найдем интеграл

∫ sin3x dx.

Решение.

1. Подынтегральная функция нечетна относительно sin x . Поэтому ее можно представить в виде произведения sin2x sin x   Множитель sin x подведем под знак дифференциала. Получаем

∫ sin3x dx = ∫ sin2x · sin x dx = − ∫ sin2x dcos x  =   ∫ (t2 − 1) dt     при t = cos x.

(1)

3. Находя интеграл (1) и возвращаясь к переменной x , подставляя t = cos x , получаем:

∫ sin3x dx  =   ∫ (t2 − 1) dt  =   t3 3   − t + C   =   cos3x 3   − cos x + C.

Пример 3. Найдем интеграл

∫   3tg2x − 1 tg2x + 5  dx.

Решение.

1. Требуется найти интеграл от функции f(x) = R(tg x) , где

R(u)  =   3u2 − 1 u2 + 5 .

Поэтому используем подстановку

x = arctg t,  t = tg x,    x  О  ( − π/2, π/2)  t  О  ( − ∞,  + ∞) .

Выражаем dx через t и dt

dx   =   d(arctg t)   =   1 1 + t2  dt .

Подставляем этот результат в подынтегральное выражение. Получаем

∫   3tg2x − 1 tg2x + 5  dx   =   ∫   3t2 − 1 t2 + 5   1 1 + t2  dt             при   t = tg x .

2. Вычисляем интеграл от рациональной функции переменной t :

∫ 3t2 − 1 (t2 + 5) (1 + t2)  dt   =   − arctg t   +   4 √ 5  arctg t √ 5   +  C.

Подставляя t = tg x , получаем

∫ 3tg2x − 1 tg2x + 5  dx   =   − x   +   4 √ 5   arctg  tg x √ 5   +  C ,    x  О  ( − π/2, π/2) .

Пример 4. Найдем интеграл

∫ sin4 3x · cos4 3x dx.

Решение.

Для нтегрирования функции sin4 3x · cos4 3x применяем формулы понижения степени

sin2 α = 1 2  (1 − cos 2α) ,     cos2 α = 1 2  (1 + cos 2α) ,     sin α · cos α = 1 2  sin 2α.

Получаем:

∫ sin4 3x · cos4 3x dx   =   1 24   ∫ (2 sin 3x cos 3x)4 dx   =   1 24   ∫ sin4 6x dx   =   1 26   ∫ (2sin2 6x) 2  dx   =

=   1 64   ∫ (1 − cos 12x) 2  dx   =   1 64   ∫  dx   −   1 32   ∫ cos 12x dx   +   1 64   ∫ cos2 12x dx   =

 

=   x 64   −   sin 12x 384   +   1 128   ∫ (1 + cos 24x) dx =

 

=   3 x 128   −   sin 12x 384   +   sin 24x 3072   +  C .

Пример 5. Найдем интеграл

∫ cos x · sin 3x dx.

Решение.

1. Для вычисления интеграла преобразуем произведение cos x · sin 3x в сумму:

cos x · sin 3x   =   1 2  (sin 4x + sin 2x).

(2)

2. Подставляя (2) в исходный интеграл, получаем:

∫ cos x · sin 3x dx   =   1 2   ∫ sin 4x dx   +   1 2   ∫ sin 2x dx   =   −   1 8  cos 4x   −   1 4  cos 2x   +  C.