Умножение матриц

Произведением матрицы A = (aij) размера m×n и матрицы B = (bij) размера n×l называется матрица C = (cij) = A · B размера m×l, элементы которой определяются формулой

cij   =   n aik bkj ∑ k = 1     (i = 1, …, m   j = 1, …, l) .

То, что матрица C является произведением матриц A и B, записывается в виде C = A·B.

Заметьте, что произведение матриц A и B определено только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Вообще говоря, A·B≠B·A (даже для квадратных матриц одного и того же размера).

Если A·B = B·A, то матрицы называются перестановочными или коммутативными. Соотношение AB−BA = C называется коммутационным. В квантовой механике из коммутационных соотношений следуют фундаментальные соотношения неопределенностей, выражающие невозможность одновременного точного измерения физических величин.

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные — нулю, т.е. матрица вида

E =

1 0 … 0 0 1 … 0 … … … … 0 0 … 1

называется единичной матрицей.

Элементы единичной матрицы обозначаются символом Кронекера δij, т.е.

δij =

1, i = j, 0, i≠j

Единичная матрица коммутирует с любой квадратной матрицей того же порядка, т.е. для любой квадратной матрицы A

A·E = E·A = A ,

где E — единичная матрица того же порядка, что и A.

Справедливы следующие утверждения:

• Умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены произведения матриц A·B и ( A·B)·C, то определены произведения B·C иA·(B·C) и выполняется равенство
  

  (A·B)·C = A·(B· C)

• Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. если определено выражение A·(B + C), то
  

  A·(B + C) = A·B + A ·C.

Мы видим, что квадратные матрицы порядка n можно складывать, вычитать и перемножать. Множество, для элементов которого определены такие операции, называется кольцом. Примерами колец являются множества целых чисел, множество непрерывных функций, заданных на некотором отрезке [a, b], множество многочленов и др.

Кольцо, для элементов которого определена операция умножения на вещественные числа, называется алгеброй. Квадратные матрицы порядка n образуют алгебру. Примерами алгебр являются множества целых чисел, множество непрерывных функций, заданных на некотором отрезке [a, b], множество многочленов и др.