Пример 1.Рассмотрим систему векторов в координатном пространстве Rn :
e1 = [1, 0, 0 … , 0] ,
e2 = [0, 1, 0, … , 0] ,
… … … … … ,
en = [0, 0, … , 0, 1] .
Докажем, что эта система векторов линейно независима.
Решение.
Рассмотрим линейную комбинацию векторов e1, e2, … , en и воспользуемся правилами сложения и умножения на число
α1e1 + α2e2 + … + αnen = [α1, 0, … , 0} + {0, α2, … , 0] + … + [0, 0, … , αn] = [α1, α2, … , αn]
Так как θ = [0, 0, … , 0] , то равенство
α1e1 + α2e2 + … + αnen = θ
приобретает вид
| [α1, α2, … , αn] = [0, 0, … , 0] |
и, очевидно, выполняется только при α1 = α2 = … = αn = 0 .Это означает, что система векторов e1, e2, … , en линейно независима.
Пример 2. Рассмотрим систему векторов 1, t, t2 в пространстве многочленов степени, меньшей или равной 2. Докажем, что эта система линейно независима .
Решение.
Рассмотрим линейную комбинацию векторов 1, t, t2 и допустим, что
α1·1 + α2·t + α3·t2 ≡ 0 «t О (∞, + ∞).
Если из этого тождества следует, что α1 = α2 = α3 = 0 , то векторы 1, t, t2 линейно независимы.
Положив t = 0 , получим α1 = 0 . Следовательно,
α2·t + α3·t2 ≡ 0
Продифференцируем это тождество по t и вновь положим t = 0 . Получим α2 = 0 . Следовательно,
α3·t ≡ 0
Продифференцировав это тождество по t , получим α3 = 0 . Итак, мы доказали, что α1 = α2 = α3 = 0 . Следовательно, система векторов 1, t, t2 линейно независима.
Пример 3. Даны два вектора пространства R3 : e1 = {1, 2, 3} и e2 = {0, 2, 3} . Исследуем, являются ли эти векторы линейно зависимыми.
Решение.
Для двух векторов определение линейной зависимости
| α1e1 + α2e2 = θ (α12 + α22 ≠ 0) |
может быть записано в виде
e1 = −
e2 (если α1 ≠ 0) или/и e2 = −
e1 (если α2 ≠ 0), |
т.е. два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (их координаты пропорциональны). В нашем случае векторы, очевидно, неколлинеарны ( e1 ≠ λe2 ) и, следовательно, линейно независимы.
Пример 4. Даны три вектора пространства R3 : e1 = {1, 2, 3} , e2 = {0, −1, 1} и e3 = {1, 1, 4} . Исследуем, являются ли эти векторы линейно зависимыми.
Решение. Очевидно, e3 = e1 + e2 . Согласно теореме система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один вектор является линейной комбинацией остальных. Следовательно, векторы e1, e2, e3 линейноз ависимы.
Пример 5. Даны три вектора пространства R3 : e1 = {2, 0, 1} , e2 = {1, −1, 1} и e3 = {1, −1, −2} . Исследуем, являются ли эти векторы линейно зависимыми.
Решение. По определению линейной независимости
α1e1 + α2e2 + α3e3 = θ Ю α1 = α2 = α3 = 0.
С учетом введенных в R3 операций сложения векторов и умножения вектора на число, данное равенство э квивалентно системе трех уравнений с тремя неизвестными:
|
Определитель матрицы этой системы
|
= 2 · 3 − 1 · 1 + 1 · 1 = 6 ≠ 0 |
Согласно правилу Крамера, однородная система уравнений в этом случае имеет единственное решение α1 = α2 = α3 = 0 . Таким образом, векторы e1, e2, e3 линейно независимы.
Замечание. Если рассматривать векторы e1, e2, e3 как геометрические, заданные в некотором ортонормированном базисе, то полученное условие можно трактовать следующим образом: три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны (смешанное произведение не равно нулю). Отметим также, что пример 4 можно было решать аналогично. В этом случае det A = 0 (убедитесь в этом!), т.е. векторы компланарны и, следовательно, линейно зависимы.
Пример 6. Исследуем, линейную зависимость системы векторов cost, sint, sin2t на интервале (−π/2, π/2) .
Решение.
Имеем
α1cost + α2sint + α3sin2t ≡ 0 «t О ( −∞, + ∞)
Это система бесконечного множества уравнений для α1, α2, α3 . Нам достаточно трех уравнений, соответствующих, например, t = 0 , t = π/6 и t = π/4 .
Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
|
Определитель этой системы не равен нулю (проверьте!) и, следовательно, она имеет единственное решение α1 = α2 = α3 = 0 . Таким образом, система векторов cost, sint, sin2t линейно независима на интервале ( −π/2, π/2) .
Замечание. Если для каких–либо значений t мы бы получили αi ≠ 0 , то это вовсе не означало бы, что система векторов линейно зависима, так как равенство линейной комбинации нулю должно выполняться тождественно при всех значениях аргумента из заданного промежутка. Таким образом, доказательство линейной независимости рекомендуется проводить, исходя из определения. Напротив, доказательство линейной зависимости рекомендуется проводить, выражая один вектор через остальные, т.е. опираясь на теорему.
Пример 7. Исследуем линейную зависимость системы векторов et, e2t, e3t на интервале (−∞, +∞) .
Решение.
Имеем
| α1et + α2e2t + α3e3t ≡ 0 «t О (−∞, +∞). | (1) |
Это система бесконечного множества уравнений для α1, α2, α3 . Нам достаточно трех уравнений. Чтобы их получить, поступим следующим образом.
Положим в тождестве (1) t = 0 . Получим первое уравнение
α1 + α2 + α3 = 0
Продифференцируем (1) по t и вновь положим t = 0 . Получим
α1 + 2α2 + 3α3 = 0
Продифференцируем (1) еще раз и вновь положим t = 0 . Получим
α1 + 4α2 + 9α3 = 0
Таким образом, коэффициенты α1, α2, α3 являютсярешениями однородной системы уравнений
|
Определитель матрицы этой системы
|
= 1 · 7 − 1 · 6 + 1 · 2 = 3 ≠ 0 |
Согласно правилу Крамера, однородная система уравнений в этом случае имеет единственное решение α1 = α2 = α3 = 0 . Таким образом, система векторов et, e2t, e3t линейно независима на интервале (−∞, +∞) .
Пример 8. Исследуем, линейную зависимость системы векторов 1, cos2t, sin2t на интервале (−∞, +∞) .
Решение.
Очевидно, 1 = cos2t + sin2t . Так как один вектор является линейной комбинацией остальных, то по теореме система векторов линейно зависима на интервале (−∞, +∞) .
