Сложение операторов
Пусть Xn и Ym — линейные пространства,
| ^ |
| A |
: Xn → Ym и
| ^ |
| B |
: Xn → Ym — операторы (не обязательно линейные) с общей областью определения D .
Суммой операторов
| ^ |
| A |
: D М Xn → Ym и
| ^ |
| B |
: D М Xn → Ym называется оператор
| ^ |
| C |
: D М Xn → Ym , обозначаемый
| ^ |
| C |
=
| ^ |
| A |
+
| ^ |
| B |
и такой, что «x О D
| ^ |
| C |
x =
| ^ |
| A |
x +
| ^ |
| B |
x .
Сумма линейных операторов есть линейный оператор.
При сложении операторов их матрицы в фиксированных базисах складываются.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» (Москва, Изд–во МЭИ, 2000).
Умножение оператора на число
Пусть Xn и Ym — линейные пространства,
| ^ |
| A |
: D М Xn → Ym — оператор (не обязательно линейный). Произведением оператора
| ^ |
| A |
:D М Xn → Ym и числа α называется оператор
| ^ |
| C |
:D М Xn → Ym , обозначаемый
| ^ |
| C |
= α
| ^ |
| A |
и такой, что «x О D
| ^ |
| C |
x = α
| ^ |
| A |
x .
Произведение линейного оператора и числа есть линейный оператор.
При умножении оператора на число его матрица в фиксированных базисах умножается на это число.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» (Москва, Изд–во МЭИ, 2000).
Композиция (произведение) операторов
Пусть Xn , Ym и Zl – линейные пространства,
| ^ |
| A |
: Xn → Ym и
| ^ |
| B |
: Ym → Zl — операторы (не обязательно линейные).
Композицией операторов
| ^ |
| A |
: Xn → Ym и
| ^ |
| B |
: Ym → Zl называется оператор
| ^ |
| C |
: Xn → Zl такой, что «x О Xn
| ^ |
| C |
x =
| ^ |
| B |
(
| ^ |
| A |
x) (рис. 1).
Композиция
| ^ |
| C |
операторов
| ^ |
| A |
и
| ^ |
| B |
обозначается
| ^ |
| C |
=
| ^ |
| B |
°
| ^ |
| A |
.
Композиция линейных операторов есть линейный оператор.
Матрица композиции линейных операторов в фиксированных базисах равна произведению матриц этих операторов в тех же базисах.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» (Москва, Изд–во МЭИ, 2000).
