Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида
|
(1) |
Здесь aik О R ( i = 1, … , m , k = 1, … , n ) — коэффициенты системы, x1, x2, … , xn — неизвестные и b1, b2, … , bm О R — свободные члены.
Совокупность n чисел c1, c2, … , cn называется решением системы (1), если при подстановке их в каждое уравнение вместо соттветственно неизвестных x1, x2, … , xn все уравнения системы обращаются в тождества.
Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется несовместной.
Введем следующие обозначения
| A = |
|
— основная матрица системы (1),
| Aрасш = |
|
— расширенная матрица системы (1),
| X = |
|
— столбец неизвестных и
| B = |
|
— столбец свободных членов.
Теперь можно записать систему (1) в матричной форме
A · X = B.
Векторная форма системы (1) имеет вид
x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B.
Здесь A1, A2, …, An — столбцы матрицы A.
Видно, что решить систему (1) значит разложить столбец свободных членов B по всем столбцам матрицы A. Это возможно тогда и только тогда, когда базисные столбцы основной матрицы являются базисными столбцами расширенной. Отсюда следует
Теорема Кронекера–Капелли (условие совместности системы уравнений). Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.
Замечание. Система (1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Каждое уравнение этой системы — это уравнение гиперплоскости в n –мерном пространстве. Решение системы (если оно существует) определяет координаты точки пересечения этих m гиперплоскостей.
