Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида
|
(1) |
Здесь aik О R ( i = 1, … , m , k = 1, … , n ) — коэффициенты системы, x1, x2, … , xn — неизвестные и b1, b2, … , bm О R — свободные члены.
Совокупность n чисел c1, c2, … , cn называется решением системы (1), если при подстановке их в каждое уравнение вместо соттветственно неизвестных x1, x2, … , xn все уравнения системы обращаются в тождества.
Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется несовместной.
Введем следующие обозначения
| A = |
|
— основная матрица системы (1),
| Aрасш = |
|
— расширенная матрица системы (1),
| X = |
|
— столбец неизвестных и
| B = |
|
— столбец свободных членов.
Теперь можно записать систему (1) в матричной форме
| A · X = B. |
Пусть Xn и Ym — произвольные линейные пространства. Выберем в них некоторые базисы e1, e2, … , en и f1, f2, … , fm и определим оператор
| ^ |
| A |
с матрицей A , векторы x = x1e1 + x2e2 + … + xnen и b = b1f1 + b2f2 + … + bmfm . Тогда система (1) эквивалентна операторному уравнению
x = b. |
(2) |
Из определения образа линейного оператора ( b О Img
| ^ |
| A |
ЬЮ
| ^ |
| A |
x = b ) следует условие совместности в операторной форме:
Вектор x является решением операторного уравнения (2)
| ^ |
| A |
x = b тогда и только тогда, когда вектор b принадлежит образу оператора
| ^ |
| A |
.
Более удобной для решения задач является матричная форма условия совместности:
Теорема Кронекера–Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», стр.76.
Замечание. Система (1) имеет простую геометрическую интерпретацию. Каждое уравнение этой системы — это уравнение гиперплоскости в n –мерном пространстве. Решение системы (если оно существует) определяет координаты точки пересечения этих m гиперплоскостей.
