Линейные формы

Пусть X — линейное пространство.

Линейное отображение l : X → R называется линейной формой, или линейной функцией, или линейным функционалом.

Это означает, что « x1, x2 О X и « α О R

l(x1 + x2) = l(x1) + l(x2),         l(αx1) = α l(x1).

Теорема 1. Множество линейных форм (функций), заданных на X , является линейным пространством относительно операций

l = l1 + l2  ЬЮ  «x О X: l(x) = l1(x) + l2(x),

 

l = αl1  ЬЮ  «x О X: l(x) = α l1(x).

В качестве нулевого элемента l = θ выбирается линейная функция l(x) такая, что «x О X l(x) = 0 .

Это пространство называется сопряженным к X и обозначается X* .

Теорема 2. Размерности пространств X и X* равны.

Пусть e1, e2,  … , en — базис в Xn . Матрицей линейной формы называется матрица–строка

l(e1), l(e2),  … , l(en)  .

Обозначим li = l(ei) коэффициенты (компоненты) линейной формы l(x) в базисе e1, e2,  … , en . Тогда

l(x)   =   n l(ei) xi ∑ i = 1   =   n li xi ∑ i = 1  .

Преобразование коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису.

Пусть даны два базиса e1, e2,  … , en и f1, f2,  … , fn , связанные матрицей перехода C = (cik) по формуле

fi   =   n cikek ∑ k = 1  .

Тогда

l‘i   =   n ciklk ∑ k = 1  ,

где l‘i — коэффициенты линейной формы в базисе f1, f2,  … , fn .

Или в матричной форме:

f = e · C     Ю     l‘ = C · l.

Отметим, что коэффициенты линейной формы преобразуются так же, как базисные векторы — посредством матрицы C . В то время как координаты векторов преобразуются посредством матрицы C − 1 .

Ядро линейной формы (линейного функционала) — линейное пространство. Оно называется гиперплоскостью.

В частности, при n = 3 ядро линейного функционала l1x + l2y + l3z = 0 — плоскость в трехмерном пространстве, причем коэффициенты функционала суть координаты нормального вектора плоскости.