Векторным произведением векторов →a и →b называется вектор →c , который обозначается →c = [→a, →b] и удовлетворяет следующим трем условиям:
- |→c| = |→a| · |→b| · sinj, где j –угол между векторами →a и →b;
- →c ^ →a и →c ^ →b;
- Векторы →a, →b и →c образуют правую тройку, т.е. из конца вектора →c кратчайший поворот от вектора →a к вектору →b виден против часовой стрелки (рис.1).
<
Замечание.Это определение однозначно определяет векторное произведение ненулевых векторов. Если хотя бы один из сомножителей — нулевой вектор, то векторное произведение считается равным нулевому вектору.
Из определения векторного произведения следует, что [→a, →a] = →0 для любого вектора →a.
Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Свойства векторного произведения векторов
Для любых векторов →a, →b, →c и любых чисел α, β:
- [→b, →a] = −[→a, →b], т.е. векторное произведение антикоммутативно;
- [→a, →b + →c] = [→a, →b] + [→a, →c];
- [α→a, →b] = α[→a, →b].
Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.
| →a || →b ЬЮ [→a, →b] = →0 |
(нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).
