Смешанным произведением векторов →a, →b и →c называется число, обозначаемое (→a, →b, →c) и определяемое равенством
| (→a, →b, →c) = ( [→a, →b ], →c), |
т.е. векторное произведение двух векторов [→a, →b] умножается скалярно на третий вектор →c (рис.1).
По определению скалярного и векторного произведений имеем
| (→a, →b, →c) = ([ →a, →b ], →c ) = | [→a, →b ] | · |→c | · cosθ = |
| = | →a | · |→b| · sinj · |→c | · cosθ = ± Vпараллелепипеда, |
причем знак + берется в том случае, когда угол θ острый, т.е. тройка векторов
→a, →b, →c — правая, знак − берется в том случае, когда угол θ тупой, т.е. тройка векторов →a, →b, →c — левая.
Геометрический смысл смешанного произведени: смешанное произведение векторов (→a, →b, →c) равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком +, если тройка векторов →a, →b, →c — правая, и со знаком −, если тройка векторов →a, →b, →c — левая.
Следствия
1. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
2. ([→a, →b ], →c ) = (→a, [→b, →c ]);
3. (→a, →b, →c) = (→b, →c, →a) = (→c, →a, →b);
4. (→a, →b, →c) = − (→b, →a, →c).
