Пример 1. Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение
| 9x2 − 25y2 = 225 . |
Решение. Разделим обе части уравнения на 100:
−
= 1 . |
Это уравнение описывает гиперболу с центром в начале координат, фокусами на оси абсцисс и полуосями a = 5 и b = 3 (рис.1).
Пример 2. Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение
y = −1 −
√
. |
Решение. Уединяем корень, возводим обе части уравнения в квадрат (при этом приобретаем лишние решения) и выделяем полные квадраты. Получаем
(y + 1)2 = (x − 1)2 + 25 . |
После преобразований имеем
−
= −1 . |
Это уравнение описывает гиперболу с центром в точке O‘(1, −1) , фокусами на оси ординат и полуосями a = 5 и b = 3 . Так как в исходном уравнении перед корнем стоит знак − , то оно описывает нижнюю половину гиперболы (y ≤ −1) (рис.2, исходная система координат не изображена).
