Примеры
Пример 1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 2, −3) перпендикулярно прямой
|
Решение. Так как искомая плоскость перпендикулярна данной прямой, то ее нормальный вектор →n коллинеарен направляющему вектору прямой →a и, следовательно, мы можем принять →n = →a .
1. Находим направляющий вектор прямой →a как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, пересечением которых является данная прямая:
| →a = [ →n1, →n2 ] = |
|
= − 2→i + 3→j + 7→k . |
2. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 2, −3) перпендикулярно нормальному вектору →n = →a = { −2, 3, 7} :
| ( −2) (x − 1) + 3 (y − 2) + 7 (z + 3) = 0 Ю 2x − 3y − 7z − 17 = 0. |
Пример 2. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, −2, 3) параллельно прямым
=
=
и
=
=
. |
Решение.
1. Находим нормальный вектор плоскости. Так как плоскость параллельна двум прямым, то ее нормальный вектор →n перпендикулярен направляющим вектрам обеих прямых, т.е. →n ^ →a1 = {3, −2, 1} и →n ^ →a2 = {2, −1, 0} .Следовательно, мы можем положить →n = [ →a1, →a2 ] :
| →n = [ →a1, →a2 ] = |
|
= 1→i + 2→j + 1→k . |
2. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, −2, 3) перпендикулярно нормальному вектору →n = {1, 2, 1} :
| 1 (x − 1) + 2 (y + 2) + 1 (z − 3) = 0 Ю x + 2y + z = 0 . |
Пример 3. Найдем точку пересечения прямой
=
=
|
и плоскости
| 2x − 3y + z − 8 = 0. |
Решение. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще говоря, надо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными (2 уравнения прямой и 1 уравнение плоскости). Такой способ решения, безусловно, предпочтителен при использовании компьютера.
Второй способ решения использует параметрические уравнения прямой.
1. Составляем параметрические уравнения прямой. Вводя параметр t :
=
=
= t , |
получаем параметрические уравнения прямой:
|
2. Находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости, подставляя x , y и z в уравнение плоскости:
| 2 (2t + 1) − 3 ( −1) + 1 ( −t) − 8 = 0 Ю t0 = 1 . |
3. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = 1 , получаем:
| x0 = 3, y0 = −1, z0 = −1 . |
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости: (3, −1, −1) .
Проверка. Подставляя координаты точки в уравнения прямой и плоскости, убеждаемся, что они обращаются в тождества.
Пример 4. Найдем координаты проекции точки P(1, 2, −1) на плоскость 3x − y + 2z − 27 = 0.
Решение. Проекция P‘ точки P на плоскость является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на эту плоскость (рис.1).
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. В качестве направляющего вектора →a искомой прямой можно взять нормальный вектор плоскости →n = {3, −1, 2} . Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
=
=
. |
2. Находим точку пересечения этой прямой с плоскостью. Для этого записываем уравнения прямой в параметрической форме:
|
Подставля x , y и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости:
| 3 (3t + 1) − 1 ( −t + 2) + 2 (2t − 1) − 27 = 0 Ю t0 = 2 . |
Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = 2 , получаем:
| x0 = 7, y0 = 0, z0 = 1. |
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки P на плоскость: P‘ (7, 0, 1) .
Проверка. Подставляя координаты точки в уравнения прямой и плоскости, убеждаемся, что они обращаются в тождества.
Пример 5. Найдем координаты точки Q , симметричной точке P(2, −1, 2) относительно прямой
=
=
|
Решение. Искомая точка Q лежит на прямой, перпендикулярной даннойи пересекающей ее в точке P‘ , причем точка P‘ делит отрезок PQ пополам (рис. 2).
1. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку P перпендикулярноданной прямой (на рис. 2 эта плоскость изображена). Взяв в качестве нормального вектора →n направляющий вектор даннойпрямой →n = →a = {1, 0, −2} , получаем
| 1(x − 2) + 0(y + 1) − 2(z − 2) = 0 Ю x − 2z + 2 = 0 . |
2. Находим точку пересечения этой плоскости с данной прямой. Для этого записываем уравнения прямой в параметрической форме:
|
Подставля x , y и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости: t0 = −1 .Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = −1 , получаем: xP‘ = −3 , yP‘ = −2 и zP‘ = 11 .
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки P на плоскость: P‘ (0, 0, 1) .
3. Находим координаты точки Q , симметричной точке P относительно данной прямой. Поскольку точка P‘ делит отрезок PQ пополам, ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек P и Q . Имеем:
xP‘ =
Ю xQ = 2xP‘ − xP = −2 , |
y P‘ =
Ю yQ = 2yP‘ − yP = 1 , |
zP‘ =
Ю zQ = 2zP‘ − zP = 0 . |
Точка Q имеет координаты ( −2, 1, 0) .
Пример 6. Найдем координаты точки Q , симметричной точке P( −4, − 1, 11) относительно плоскости x − y = −1 .
Решение.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. В качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: →a = →n = {1, − 1, 0} . Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
=
=
. |
2. Находим координаты точки пересечения P‘ этой прямой с заданной плоскостью, решая систему уравнений
|
Получаем xP‘ = −3 , yP‘ = −2 и zP‘ = 11 .
3. Находим координаты точки Q , симметричной точке P относительно данной плоскости. Поскольку точка P‘ делит отрезок PQ пополам, ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек P и Q . Имеем
xP‘ =
Ю xQ = 2xP‘ − xP = −2 , |
yP‘ =
Ю yQ = 2yP‘ − yP = −3 , |
zP‘ =
Ю zQ = 2zP‘ − zP = 11 . |
Точка Q имеет координаты ( −2, −3, 11) .
