Однополостный гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
+
−
= 1 , |
где a, b, c>0 — параметры гиперболоида.Это уравнение называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида, а система координат, в которой гиперболоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.
Исследуем форму однополостного гиперболоида с помощьюметода сечений (рис.1).
Рассмотрим сечения гиперболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :
|
При любых значениях h в сечении получается эллипсы с полуосями a* = a √
| 1 + h2/c2 |
и b* = b √
| 1 + h2/c2 |
, т.е.эллипс с наименьшими осями получается в сечении координатной плоскостью z = 0 . При возрастании h полуоси эллипсов неограниченно возрастают, т.е. в отличие от эллипсоида однополостный гиперболоид – поверхность неограниченная.
Аналогично исследуются сечения гиперболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,
|
т. е. в сечении координатной плоскостью y = 0 получается гипербола, вершины которой лежат на оси OX , и
|
т. е. в сечении координатной плоскостью x = 0 также получается гипербола, вершины которой лежат на оси OY .
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением
+
−
= −1 , |
где a, b, c>0 — параметры гиперболоида. Это уравнение называется каноническим уравнением двуполотного гиперболоида, а система координат, в которой гиперболоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.
Исследуем форму двуполостного гиперболоида с помощью метода сечений (рис.2).
Рассмотрим сечения гиперболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :
|
При | h |>c в сечении получается эллипсы с полуосями a* = a √
| h2/c2 − 1 |
и b* = b √
| h2/c2 − 1 |
, т.е.при возрастании h полуоси эллипсов неограниченновозрастают. При h = ± c плоскость z = h касаетсягиперболоида в точках (0, 0, ± c) и, наконец, при | h |<c плоскость z = h не пересекает гиперболоида (в сечении — пустое множество).
Аналогично исследуются сечения гиперболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,
|
т. е. в сечении координатной плоскостью y = 0 получается гипербола, вершины которой лежат на оси OZ , и
|
т. е. в сечении координатной плоскостью x = 0 также получается гипербола, вершины которой лежат на оси OZ .
