Параболоиды

Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

2 z  =   x2 a2   +   y2 b2  ,

где a,  b>0 — параметры параболоида.Это уравнение называется каноническим уравнением эллиптического параболоида, а система координат, в которой параболоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.

Исследуем форму эллиптического параболоида с помощью метода сечений (рис. 1).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :

x2 a2   +   y2 b2   =  2h z = h

При h>0 в сечении получаются эллипсы с полуосями a* = a √

2h

и b* = b √

2h

, т.е. при возрастании h полуоси эллипсов неограниченно возрастают. При h = 0 плоскость z = h касается параболоида в начале координат (0, 0, 0) и, наконец, при h<0>z = h непересекает параболоида (в сечении — пустое множество).

Аналогично исследуются сечения параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,

z  =   x2 2a2 y = 0

и

z  =   y2 2b2 x = 0

т. е. в сечении координатными плоскостями y = 0 и x = 0 получаются параболыс вершинами в начале координат.

Замечание. В частном случае a2 = b2 = p имеем уравнение параболоида вращения

x2 + y2 + z2 = 2pz ,

т.е. поверхности, которую описывает парабола при вращении вокруг оси OZ .

Гиперболический параболоид (седло).

Гиперболическим параболоидом (или седлом) называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

2z  =   x2 a2   −   y2 b2  ,

где a,  b>0 — параметры параболоида. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболического параболоида, а система координат, в которой параболоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.

Исследуем форму гиперболического параболоида с помощью метода сечений (рис. 2).

Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :

x2 a2   −   y2 b2   =  2h z = h

При h>0 в сечении получаются гиперболы с вершинами, лежащими на оси, параллельной оси OX , а при h<0>OY .

Аналогично исследуются сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостями XOZ и YOZ . В частности,

z   =   x2 2a2 y = 0

т.е. в сечении получается парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх, и

z  = −  y2 2b2 x = 0

т.е. в сечении получается парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз.