Примеры

Пример 1. Пусть

A =

1 0 3

– матрица–строка размера 1×3 и

B =

2 −1 1

– матрица–столбец размера 3×1. Найдем A·B.

По правилу умножения матриц элемент искомой матрицы равен сумме произведений элементов строки на элементы столбца:

1 0 3

·

2 −1 1

=

1·2 + 0·(−1) + 3·1

=

5

Получилась матрица размера 1×1, т.е. матрица, состоящая из одного элемента. Такие матрицы мы будем отождествлять с числами. Обратите внимание на то, что операция B ·A запрещена.

Пример 2. Пусть

A =

0 1 3 −2

,     B =

2 −1 3 0

Вычислим A·B.

Имеем

A·B =

0·2 + 1·(−1) + 3·3 + (−2)·0

=

8

Пример 3. Пусть

A =

2 3 0 −2 −1 4

– матрица размера 3×2 и

B =

1 −1 0 3 2 1 −2 −4

– матрица размера 2×4. Вычислим произведение A·B.

При умножении матриц первую строку первой матрицы умножаем последовательно на 1–й, 2–й, 3–й и 4–й столбцы второй матрицы. Полученные результаты запишем в качестве первой строки искомой матрицы. Затем вторую строку первой матрицы умножаем последовательно на 1–й, 2–й, 3–й и 4–й столбцы второй матрицы, получаем вторую строку искомой матрицы. И, наконец, третью строку первой матрицы умножаем последовательно на 1–й, 2–й, 3–й и 4–й столбцы второй матрицы, получаем третью (последнюю) строку искомой матрицы:

2 3 0 −2 −1 4

·

1 −1 0 3 2 1 −2 −4

=

8 1 −6 −6 −4 −2 4 8 7 5 −6 −15

Обратите внимание на то, что размер полученной матрицы — 3×4, т.е. в ней столько же строк, сколько строк у первой матрицы, и столько же столбцов, сколько столбцов у второй матрицы.

Пример 4. Пусть

A =

1 2   −3 6 0 2

,     B =

1 2 0   −1 2 1 1 −2 3 1 0 2

Вычислим A·B.

Имеем

A·B =

−4 1 2 −11 12 14 0 −2

Пример 5. Даны две квадратные матрицы размера 3×3:

A =

1 2   −1 −1 0 2 0 −2 1

и    B =

−1 0 1 2   −1 1 1 0 −2

Вычислим A·B и B·A:

A·B =

2   −2 5 3 0   −5 −3 2   −4

и    B·A =

−1   −4 2 3 2 −3 1 6 −3

Пример 6. Даны две квадратные матрицы 3–го порядка:

A =

1   −3 2 3 −4 1 2 −5 3

и    B =

2 5 6 1 2 5 1 3 2

Вычислим

A·B =

1 5   −5 3 10 0 2 9 −7

и    B·A =

29   −56 27 17 −36 19 14 −25 11

Примеры 5 и 6 показывают, что A·B≠B·A, т.е. операция умножения матрицнекоммутативна (даже для квадратных матриц одного и того же размера). Это не единственное отличие алгебры матриц от алгебры чисел.