Пример 1. Дана система уравнений
| м п н п о |
2x1 + x2−x3 = 1 |
| 3x1−2x2 + 3x3 = 8 | |
| x1−4x2 + x3 = −4 |
а) Найдем ее основную и расширенную матрицы:
|
, |
|
б) Выясним, являются ли x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 решением системы.
Подставив полученное решение в уравнения системы
| м п н п о |
2·1 + 1·2−1·3 = 1 |
| 3·1−2·2 + 3·3 = 8 | |
| 1·1−4·2 + 1·3 = −4 |
убеждаемся, что все они обращаются в тождества. Следовательно, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 являются решением системы.
Пример 2. Дана расширенная матрица некоторой системы уравнений
| Aрасш = | ж з з и |
1 | 2 | 1 | ч ч ч ч |
4 | ц ч ч ш |
| 3 | −5 | 3 | 1 | ||||
| 2 | 7 | −1 | 8 |
) По этой матрице запишем систему уравнений
| м п н п о |
x1 + 2x2 + x3 = 4 |
| 3x1−5x2 + 3x3 = 1 | |
| 2x1 + 7x2−x3 = 8 |
Пример 3. Дана система двух уравнений с двумя неизвестными
| м н о |
x + y = 1 |
| x−y = 3 |
Эта система, очевидно, имеет единственное решение: x = 2, y = −1.
Данную систему уравнений можно интерпретировать геометрически: каждое уравнение определяет некоторую прямую на плоскости. Следовательно, в данном случае эти две прямые пересекаются в одной точке с декартовыми координатами: x = 2, y = −1.
Пример 4. Дана система двух уравнений с двумя неизвестными
| м н о |
x + y = 1 |
| 2x + 2y = 1 | |
Очевидно, что система несовместна, т.е. решений не имеет. Данную систему уравнений можно интерпретировать геометрически: каждое уравнение определяет некоторую прямую на плоскости. Следовательно, в данном случае эти две прямые не пересекаются ни в одной точке, т.е. параллельны.
Пример 5. Дана система двух уравнений с двумя неизвестными
| м н о |
x + y = 1 |
| 2x + 2y = 2 |
Очевидно, второе уравнение является следствием первого. Следовательно, система имеет бесчисленное множество решений, которые можно записать, например, в виде x = 1−C, y = C, где C — произвольная постоянная.
Данную систему уравнений можно интерпретировать геометрически: каждое уравнение определяет некоторую прямую на плоскости. В данном случае эти две прямые совпадают, причем x = 1−C, y = C можно интерпретировать как параметрические уравнения прямой на плоскости (C — параметр).
