Примеры

Пример 1. Решим систему уравнений

м п н п о	2x1 + x2−x3 = 1
	3x1−2x2 + 3x3 = 8
	x1−4x2 + x3 = −4

Решение.

1. Вычисляем определитель матрицы системы

Δ =	ч ч ч ч	2	1	−1	ч ч ч ч	= 30.
		3	−2	3
		1	−4	1

2. Так как определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

x 1 = Δ 1 —— Δ, x2 = Δ 2 —— Δ, x3 = Δ 3 —— Δ

3. Вычисляем определители

Δ1 =	ч ч ч ч	1	1	−1	ч ч ч ч	= 30,		Δ2 =	ч ч ч ч	2	1	−1	ч ч ч ч	= 60,		Δ3 =	ч ч ч ч	2	1	1	ч ч ч ч	= 90.
		8	−2	3						3	8	3						3	−2	8
		−4	−4	1						1	−4	1						1	−4	−4

4. По формулам Крамера получаем решение системы

x1 = Δ 1 —— Δ = 30 —– 30 = 1, x2 = Δ2 —— Δ = 60 —– 30 = 2, x3 = Δ3 —— Δ = 90 —– 30 = 3.

5. Подставляем полученное решение в уравнения системы:

м п н п о	2·1 + 1·2−1·3 = 1
	3·1−2·2 + 3·3 = 8
	1·1−4·2 + 1·3 = −4

и убеждаемся, что все они обращаются в тождества.

Ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

Пример 2. Решим систему уравнений

м п н п о	x1 + 2x2 + x3 = 4
	3x1−5x2 + 3x3 = 1
	2x1 + 7x2−x3 = 8

Решение.

1. Вычисляем определитель матрицы системы

Δ =	ч ч ч ч	1	2	1	ч ч ч ч	= 33.
		3	−5	3
		2	7	−1

2. Так как определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

x1 = Δ1 —— Δ, x2 = Δ2 —— Δ, x3 = Δ3 —— Δ

3. Вычисляем определители

Δ1 =	ч ч ч ч	4	2	1	ч ч ч ч	= 33,		Δ2 =	ч ч ч ч	1	4	1	ч ч ч ч	= 33,		Δ3 =	ч ч ч ч	1	2	4	ч ч ч ч	= 33.
		1	−5	3						3	1	3						3	−5	1
		8	7	−1						2	8	−1						2	7	8

4. По формулам Крамера получаем решение системы

x1 = Δ 1 —— Δ = 33 —— 33 = 1, x2 = Δ 2 —— Δ = 33 —— 33 = 1, x3 = Δ 3 —— Δ = 33 —— 33 = 1.

5. Подставляем полученное решение в уравнения системы и убеждаемся, что все уравнения обращаются в тождества.

Ответ: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1.

Пример 3. Решим систему уравнений

м п н п о	2x1−4x2 + 9x3 = 28
	7x1 + 3x2−6x3 = −1
	7x1 + 9x2−9x3 = 5

Решение.

1. Вычисляем определитель матрицы системы

Δ =	ч ч ч ч	2	−4	9	ч ч ч ч	= 348.
		7	3	−6
		7	9	−9

2. Так как определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

x 1 = Δ1 —— Δ , x2 = Δ2 —— Δ , x3 = Δ3 —— Δ

3. Вычисляем определители

Δ1 =	ч ч ч ч	28	−4	9	ч ч ч ч	= 696,		Δ2 =	ч ч ч ч	2	28	9	ч ч ч ч	= 1044,		Δ3 =	ч ч ч ч	2	−4	28	ч ч ч ч	= 1492.
		−1	3	−6						7	−1	−6						7	3	−1
		5	9	−9						7	5	−9						7	9	5

4. По формулам Крамера получаем решение системы

x1 = Δ 1 —— Δ = 696 —— 348 = 2, x2 = Δ 2 —— Δ = 1044 —— 348 = 3, x3 = Δ 3 —— Δ = 1492 —— 348 = 4.

5. Подставляем полученное решение в уравнения системы и убеждаемся, что все уравнения обращаются в тождества.

Ответ: x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4.