Предварительные понятия.
Пусть X — некоторое множество элементов x, y, z, … произвольной природы. Начнем с определений операций сложения элементов и умножения элемента на число.
Сложением называется любая операция, которая любым двум элементам x и y данного множества ставит в соответствие элемент z того же множества, называемый их суммой и обозначаемый
z = x Е y
причем эта операция должна удовлетворять следующим условиям (аксиомы сложения):
«x, y О X x Е y = y Е x (коммутативность);
«x, y, z О X (x Е y) Е z = x Е (y Е z) (ассоциативность);
«x О X $θ О X такой, что x Е θ = x (существование нулевого, или нейтрального, элемента θ );
«x О X $ −x О X такой, что x Е (−x) = θ (существование противоположного, или обратного, элемента −x ).
Множества с операциями такого типа называют абелевыми группами.
Умножением на число называется любая операция, которая любому элементу x данного множества и любому числу α ставит в соответствие элемент y того же множества , называемый произведением элемента и числа и обозначаемый
y = α K x
причем эта операция должна удовлетворять следующим условиям (аксиомы умножения):
«x О X и «α, y О R α K (y K x) = (α · β) K x (ассоциативность);
«x О X 1 K x = x .
Подчеркнем, что при введении операций сложения и умножения на число важнейшим условием является условие замкнутости операций в данном множестве, т.е. то, что сумма элементов и произведение элемента и числа должны быть элементами данного множества.
Очевидно, что, вводя на множестве две операции, мы должны их как–то согласовать.
Условия согласования операций сложения и умножения на число:
«x, y О X и «α, β О R
(α + β) K x = α K x Е β K x ;
α K (x Е y) = α K x Е α K y .
Теперь мы можем ввести определение линейного (векторного) пространства:
Определение. Линейным (или векторным) пространством называется множество элементов произвольной природы, на котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, замкнутые в данном множестве и согласованные друг с другом. Элементы любого линейного пространства называются векторами.
В свете всего сказанного можно дать развернутое определение линейного пространства, включив в него аксиомы сложения, умножения и условия согласования:
Определение.Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством, если на нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число таким образом, что для любых элементов x, y, z О X и любых чисел α, β О R x Е y О X , α K x О X и выполняются следующие аксиомы (аксиомы линейного пространства):
- x Е y = y Е x ;
- (x Е y) Е z = x Е (y Е z) ;
- $θ О X такой, что x Е θ = x ;
- $ −x О X такой, что x Е (−x) = θ ;
- α K (β K x) = (α · β) K x ;
- 1 K x = x ;
- (α + β) K x = α K x Е β K x ;
- α K (x Е y) = (α K x) Е (α K y) .
Замечания.
1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.
2. Если введена операции умножения только на вещественные числа, то такие линейные пространства называются вещественными, если же определено умножение на любое комплексное число, то комплексными. Так как мы ограничились умножением только на вещественные числа, то в дальнейшем будем называть вещественные линейные пространства просто линейными (или векторными). Линейное пространство будем обозначать заглавными рукописными латинскими буквами, векторы — строчными латинскими буквами, а вещественные числа — строчными греческими буквами.
Следствия из аксиом линейного пространства:
- В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор;
- В линейном пространстве у каждого вектора существует единственный противоположный вектор;
- «x О X 0 K x = θ ;
- «α О R α K θ = θ ;
- «x О X −x = (−1) K x ;
- Если α K x = θ , то либо α = 0 , либо x = θ .
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.34).
Разностью векторов x О X и y О X называется вектор z = x −o y , определяемый равенством z = x Е (−y) .
