Пример 1. Докажем, что система векторов координатного пространства Rn
e1 = [1, 0, 0 … , 0] ,
e2 = [0, 1, 0, … , 0] ,
… … … … … ,
en = [0, 0, … , 0, 1]
образует некоторый базис в Rn , и найдем размерность этого пространства.
Решение.
1. Система векторов линейно независима.
2. Любой вектор x = [α1, α2, … , αn] О Rn может быть представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2, … , en :
| x = [α1, α2, … , αn] = α1e1 + α2e2 + … + αnen. |
Таким образом, система векторов e1, e2, … , en — базис впространстве Rn .
3. Так как количество векторов в базисе равно n , то размерность пространства Rn действительно равна n , что оправдывает его обозначение.
Отметим, что в базисе e1, e2, … , en (и только в нем) числа α1, α2, … , αn являются координатами вектора x , т.е. x = {α1, α2, … , αn} (отсюда происходит название координатного пространства).
Пример 2. Докажем, что система векторов 1, t, t2 , образует в пространствемногочленов степени, меньшей или равной 2, некоторый базис, и найдем размерность этого пространства.
Решение.
1. Система векторов линейно независима.
2. Любой многочлен 2–й степени P2(t) = a0 + a1t + a2t2 является линейной комбинацией векторов 1, t, t2 .
3. Так как количество векторов в базисе равно 3, то размерность пространства многочленов степени, меньшей или равной 2, равна 3.
Отметим, что в этом базисе (и только в нем) коэффициенты многочлена являются его координатами, т.е. в наших обозначениях P2(t) = {a0, a1, a2} .
Пример 3. Образуют ли векторы пространства R3 e1 = {1, 2, 3} и e2 = {0, 2, 3} базис в R3 ?
Решение.
Эти векторы линейно независимы, однако их количество меньше размерности пространства. Следовательно, эти векторы не образуют базиса в трехмерном пространстве R3 .
Геометрическая интепретация.
Любой вектор, не лежащий в плоскости векторов e1, e2 , не может быть представлен в виде их линейной комбинации.
Пример 4. Образуют ли векторы пространства R3 e1 = {1, 2, 3} , e2 = {0, −1, 1} и e3 = {1, 1, 4} базис в R3 ?
Решение.
Так как векторы e1, e2, e3 линейно зависимы, то они не образуют базис.
Пример 5. Даны три вектора пространства R3 e1 = {2, 0, 1} , e2 = {1, −1, 1} и e3 = {1, −1, −2} . Докажем, что эти векторы образуют базис в R3 и найдем координаты векторов x = {3, −1, 2} , y = {7, −1, 1} и 2x + 4y в этом базисе.
Решение.
1. Так как векторы e1, e2, e3 линейно независимы и их количество равно размерности пространства, то они образуют базис в R3 и, следовательно по ним можно разложить любой вектор пространства. В частности,
| x = α1e1 + α2e2 + α3e3. |
Это векторное уравнение эквивалентно системе трех уравнений с тремя неизвестными:
|
Решим эту систему методом Гаусса
|
~ |
|
~ |
| ~ |
|
~ |
|
~ |
| ~ |
|
~ |
|
Таким образом, получаем x = 1 · e1 + 1 · e2 + 0 · e3 , т.е.в базисе e1, e2, e3 вектор x имеет координаты {1, 1, 0} . (Обратите внимание на то, что в базисе e1, e2, e3 координаты векторов e1 = {1, 0, 0} , e2 = {0, 1, 0} и e3 = {0, 0, 1} .)
2. Аналогично находим координаты вектора y в базисе e1, e2, e3 .Получаем y = {3, 0, 1} .
3. Так как в фиксированном базисе при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число — умножаются на это число, получаем 2x + 4y = {14, 2, 4} .
Замечание. Если вы внимательно проследите ход решения этого примера, то можете сделать следующий вывод: чтобы найти разложение произвольного вектора x по данному базису, достаточно записать матрицу из столбцов базисных векторов (рассматривая их как координатные столбцы в некотором базисе), дописав к ней столбец вектора x . С помощью элементарных преобразований строк или с помощью компьютера преобразуем матрицу к гауссову виду, тогда на месте исходного столбца вектора x получим координатный столбец вектора x в базисе e1, e2, e3 .
Пример 6. Найдем какой–нибудь базис и размерность пространства M квадратных матриц 2–ого порядка.
Решение.
Пусть
| A = |
|
– произвольная квадратная матрица 2–ого порядка.
Рассмотрим систему матриц
| e1 = |
|
e2 = |
|
e3 = |
|
e4 = |
|
и докажем, что эта система образует базис в пространстве M .
1. Докажем сначала, что эта система линейно независима.
Пусть
| α1e1 + α2e2 + α3e3 + α4e4 = O, |
где O — нулевая матрица 2–ого порядка, т.е.
| α1 |
|
+ α2 |
|
+ α3 |
|
+ α4 |
|
= |
|
С учетом введенных операций с матрицами, получаем
|
= |
|
Следовательно, α1 = α2 = α3 = α4 = 0 , т.е. матрицы e1, e2, e3, e4 линейно независимы.
2. Любая матрица A 2–ого порядка может быть представлена в виде линейной комбинации матриц e1, e2, e3, e4 :
| A = |
|
= |
| = a1 |
|
+ a2 |
|
+ a3 |
|
+ a4 |
|
Это означает, что матрицы e1, e2, e3, e4 образует базис в пространстве квадратных матриц 2–ого порядка и, следовательно, размерность этого пространства равна 4.
Замечание. Обратите внимание на то, что координатная запись матрицы A в базисе e1, e2, e3, e4 (и только в нем!): A = {a11, a12, a21, a22} .
