Рассмотрим некоторое подмножество X1 линейного пространства X , т.е. X1 Н X .
Определение. Подмножество X1 линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых векторов x, y О X1 и любого числа α :
x + y О X1 ;
αx О X1 .
Рассмотрим два линейных подпространства X1 и X2 линейного пространства X .
Если любой вектор x О X может быть единственным образом представлен в виде x = x1 + x2 , где x1 О X1 и x2 О X2 , то говорят, что пространство X разложено в прямую сумму подпространств X1 и X2 .
Прямая сумма обозначается X = X1 + X2 .
Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.
