Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Примеры

04 июня 2017 | Рубрика: Учебная коллекция

Пример 1. Построим матрицу оператора подобия ^KXX : «x О X y = kx .

Решение.

Пусть e1, e2, … , en — базис в Xn . Найдем координаты образов базисных векторов:

^Ke1 = ke1 = {k, 0, 0, … , 0} ,

^Ke2 = ke2 = {0, k, 0, … , 0} ,

… … … … … … … … … ,

^Ken = ken = {0, 0, … , 0, k} .

Координатные столбцы образов базисных векторов — это столбцы искомой матрицы оператора подобия:

K =
k 0 0
0 k 0
0 0 k

 

Замечания.

1. Матрица оператора подобия — диагональная матрица, причем K = k · E , где E — единичная матрица. Матрицы вида k · E называются скалярными.

2. Матрица оператора подобия не зависит от выбора базиса (в общем случае это не так).

3. Частные случаи оператора подобия:

а) матрица тождественного оператора (k = 1) ^E : ^Ex = x :

E =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

— единичная матрица;

б) матрица нулевого оператора (k = 0) ^O^Ox = θ :

O =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

— нулевая матрица.

Пример 2. Построим матрицу оператора проецирования ^P множества геометрических векторов на плоскости V2 на ось абсцисс в базисе i , j .

Решение.

Найдем координаты образов базисных векторов:

^Pi = i = {1, 0},   ^Pj = 0 = {0, 0}

и запишем координатные столбцы образов базисных векторов ^Pi и ^Pj в качестве столбцов искомой матрицы.

Таким образом, матрица оператора проецирования имеет вид:

P =
1 0
0 0

Замечание. Очевидно, что оператор ^P действует из V2 в V1 . Поэтому, если в пространстве V2 взять базис i , j , а в пространстве V1 (пространство векторов, лежащих на оси OX ) — базис i , то

^Pi = i = {1} ,

^Pj = 0 = {0} .

Следовательно, в этих базисах матрица оператора проецирования (1 0) — матрица размера 1 × 2 . Подчеркнем еще раз, что матрица оператора зависит от выбора базисов.

Пример 3. Построим матрицу оператора поворота ^A множества геометрических векторов на плоскости V2  на угол j против часовой стрелки в базисе i , j .

Решение.

Найдем координаты образов базисных векторов (см. рис. 1):

^Ai = cosj · i + sinj · j = {cosj, sinj} ,

^Aj = −sinj · i + cosj · j = { −sinj, cosj}

и запишем координатные столбцы образов базисных векторов

^Ai и ^Aj в качестве столбцов искомой матрицы.

Таким образом, матрица оператора поворота имеет вид

A =
cosj − sinj
sinj cosj

Пример 4. Найдите матрицу оператора зеркального отражения множества геометрических векторов на плоскости V2  относительно оси ординат в базисе i , j (см. рис. 2).

Пример 5. Построим матрицу оператора дифференцирования ^D в пространстве многочленов степени, меньше или равной n , в базисе 1,  t,  t2,   … ,  tn .

Решение.

Найдем координаты образов базисных векторов

^D1 = 1′ = 0 = 0 · 1 + 0 · t + … + 0 · tn = {0, 0, … , 0} ,

^Dt = t‘ = 1 = 1 · 1 + 0 · t + … + 0 · tn = {1, 0, … , 0} ,

^Dt2 = (t2)’ = 2t = 0 · 1 + 2 · t + … + 0 · tn = {0, 2, … , 0} ,

… … … … … … … … … … … …

^Dtn = (tn)’ = ntn − 1 = 0 · 1 + 0 · t + … + n · tn − 1 + 0 · tn = {0, 0, … , n, 0} .

Таким образом, матрица оператора дифференцирования имеет вид

D =
0 1 0 0
0 0 2 0
n
0 0 0

 

Пример 6. Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства X3 заданы произвольный вектор x = {α1, α2, α3} и его образ

^Ax = {2α1 + α2 − α3, 2α1, 0}.

Построим матрицу оператора ^A (в том же базисе).

Решение.

Поскольку строки матрицы оператора определяются как коэффициенты в выражении координат образа через координаты прообраза, получаем

A =
2 1 −1
2 0 0
0 0 0

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь