Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
|
(1) |
Эта система может быть записана в виде матричного уравнения
| A · X = O |
и операторного уравнения
| ^Ax = θ | (2) |
Система (1) всегда совместна, так как:
- имеет очевидное решение x10 = x20 = … = xn0 = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;
- добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;
- θ О Img ^A , так как Img ^A — линейное пространство.
Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы.
Условие нетривиальной совместности:
Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», стр. 77.
Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю ( det A = 0 ).
Общим решением системы линейных уравнений называется формула, которая определяет любое ее решение.
Так как система (1) эквивалентна операторному уравнению (2), то множество всех ее решений есть ядро оператора ^A . Пусть Ker ^A ≠ θ , Rg ^A = r и x1, x2, … , xn − r — базис в ядре оператора.
Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется базис ядра оператора ^A (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A ).
Это определение можно сформулировать несколько иначе:
Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется n − r линейно независимых решений этой системы.
Будем обозначать координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A X1, X2, … , Xn − r .
Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений:
Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой
| X = C1 · X1 + C2 · X2 + … + Cn − r · Xn − r, | (3) |
где X1, X2, … , Xn − r — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C1, C2, … , Cn − r — произвольные постоянные.
Свойства общего решения однородной системы уравнений:
- При любых значениях C1, C2, … , Cn − r X , определяемое формулой (3), является решением системы (1).
- Каково бы ни было решение X0 , существуют числа C10, … , Cn − r0 такие, что
X0 = C10 · X1 + C20 · X2 + … + Cn − r0 · Xn − r.
Вывод: Чтобы найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы, нужно найти базис ядра соответствующего линейного оператора.
