Базис e1, e2, … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (ei, ej) = 0 «i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны.
Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.
Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство (метод ортогонализации Грама–Шмидта).
Пусть f1, f2, … , fn — произвольный базис в En . Построим ортогональный базис e1, e2, … , en следующим образом.
Положим
e1 = f1 ,
e2 = f2 + αe1 .
Найдем α из условия ортогональности:
|
| (e1, e2) = 0 Ю (f2, e1) + α (e1, e1) = 0. |
|
|
Отсюда
Предположим теперь, что уже построена ортогональная система из k − 1 ненулевого вектора — e1, e2, … , ek − 1 . Тогда вектор ek ищем в виде
|
| ek = fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1. |
|
(1) |
Из условий ортогональности вектора ek и векторов e1, e2, … , ek − 1
|
| (fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, e1) = 0, |
|
|
|
| (fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, e2) = 0, |
|
|
|
| … … … … … … … … … … … … … , |
|
|
|
| (fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, ek − 1) = 0 |
|
|
получаем
|
| (fk, e1) + α1 (e1, e1) = 0, |
|
|
|
| (fk, e2) + α2 (e2, e2) = 0, |
|
|
|
| (fk, ek − 1) + αk − 1 (ek − 1, ek − 1) = 0. |
|
|
Отсюда
|
| α1 = −
, α2 = −
, … , αk − 1 = −
| (fk, ek − 1) |
| (ek − 1, ek − 1) |
. |
|
|
Покажем, что построенный таким образом вектор ek ненулевой. Согласно (1) ek есть линейная комбинация векторов e1, … , ek − 1 и fk . В свою очередь, ek − 1 есть линейная комбинация векторов e1, … , ek − 2 и fk − 1 , и т.д. Таким образом, ek есть линейная комбинация векторов f1, f2, … , fk :
|
| ek = β1f1 + β2f2 + … + βk − 1fk − 1 + fk. |
|
|
Так как система векторов f1, f2, … , fk линейно независима, а коэффициент при fk = 1 ≠ 0 , то ek ≠ θ .
Продолжая этот процесс до k = n , мы построим ортогональную систему из n ненулевых векторов e1, e2, … , en . В n –мерном евклидовом пространстве e1, e2, … , en — ортогональный базис. Орты векторов e1, e2, … , en образуют ортонормированный базис
