Методические рекомендации по использованию учебной коллекции

Методические рекомендации являются руководством как для преподавателя, так и для студента. Методические рекомендации определяют методику использования учебной коллекции в математическом образовании инженеров и направления модернизации обучения, а также служат инструментом для наиболее рационального и эффективного применения учебной коллекции в педагогической практике.

В модуль “Методические рекомендации по использованию учебной коллекции” целесообразно поместить следующие разделы:

• структура и содержание учебной коллекции;
• описание отдельных модулей учебной коллекции;
• образовательный стандарт, учебный план и программа дисциплины;
• перечень базовых дисциплин (разделов, тем), знание которых необходимо для усвоения данного курса;
• перечень дисциплин, изучение которых основано на знании данного курса;
• перечень дополнительных тем и разделов;
• методические разработки лекций и практических занятий;
• задания для самостоятельной работы с описанием соответствующей компьютерной поддержки;
• рекомендации по использованию модулей учебной коллекции;
• примерные темы рефератов и докладов с указанием источников, в частности, модулей расширения.

Методические рекомендации должны быть пригодны как для очного, так и для дистанционного обучения, а также для самообразования и повышения квалификации.

Более подробно структура и назначение “Методических рекомендаций по использованию учебной коллекции” описаны в монографии О.В. Зиминой “Печатные и электронные учебные пособия в современном высшем образовании: Теория, методика, практика”. Изд–во МЭИ, 2003.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Библиографический список

1. О.В. Зимина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебный комплекс. М.: Изд–во МЭИ, 2000.
2. О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. Высшая математика (Решебник). М.: Наука, 2000.
3. Л.А. Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). М.: Высшая школа, 1986.
4. О.В. Зимина. Электронное учебное пособие “Линейная алгебра и аналитическая геометрия”. Гос. регистрация НТЦ Информрегистр N 0320301149.
5. О.В. Зимина, А.И. Кириллов. Обучающий компьютерный пакет РЕШЕБНИК.ВМ. Гос. регистрация НТЦ Информрегистр N 0320301148.

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Планы лекций соответствуют книге [1].

Вводное занятие

Цель занятия: познакомить студентов с структурой, целями и графиком практических занятий и контрольных мероприятий по дисциплине “Линейная алгебра и аналитическая геометрия”, ее местом и ролью в системе математических дисциплин; с учебной коллекцией, ее дидактическими возможностями и порядком использования ее модулей в аудиторной и самостоятельной работе.

1. Объекты и методы линейной алгебры и аналитической геометрии; их место и области применения в математике и других дисциплинах.

2. Структура, цели, краткий обзор, график и формы проведения практических занятий.

Необходимо пояснить, что на практических занятиях сначала изучается тема “Введение в линейную алгебру” для овладения матричной алгеброй и другими начальными практическими навыками, затем изучаются темы “Векторная алгебра” и “Аналитическая геометрия”, материал которых не излагается на лекциях, но используется на них для иллюстрации абстрактных понятий и интерпретации результатов. Затем на практических занятиях изучается основная тема курса “Линейная алгебра” и, в заключение, приложения линейной алгебры к аналитической геометрии.

3. Рекомендации по использованию модулей учебной коллекции “Линейная алгебра и аналитическая геометрия” (учебный комплекс, книга РЕШЕБНИК “Высшая математика”, компьютерный пакет РЕШЕБНИК.ВМ, электронное учебное пособие и др.) в аудиторной и самостоятельной работе. Объяснения, как подготовить и использовать рабочие тетради для практических занятий.

4. Перечень начальных знаний и умений, необходимых для изучения предмета: например, знание определенных разделов элементарной математики, умение работать в Word’е и т.п. Рекомендации по восполнению имеющихся пробелов (возможно, с использованием нулевого модуля коллекции).

5. Содержание, график и формы проведения контрольных мероприятий, в том числе, с использованием компьютерного контролирующего комплекса.

6. Правила ведения конспектов, оформления домашних заданий и документов, которые даются для проверки преподавателю на электронных или бумажных носителях — типовых расчетов, контрольных работы и т.п.

Необходимо подчеркнуть, что использование документов пакета РЕШЕБНИК.ВМ и модуля STEM Plus существенно облегчает и ускоряет самостоятельную работу, позволяя при этом получать документы отличного качества. Если есть возможность, вводное занятие уместно проводить в дисплейном классе или использовать ТСО для демонстраций.

Задание на дом

1. Ознакомиться с лекцией 1 “Исторический очерк” [1].
2. Подготовиться к занятию по теме “Матрицы. Действия с матрицами” [1], [4].
3. Установить на компьютере пакет РЕШЕБНИК.ВМ [5].
4. Познакомиться со структурой и возможностями пакета РЕШЕБНИК.ВМ.
5. Используя указания в пакете РЕШЕБНИК.ВМ, изучить шаблоны, поля Word и правила набора формул элементарной математики в поле EQ.

Практические занятия, следующие после вводного, традиционно состоят из трех частей — вводной, основной и заключительной. Однако наличие у студентов учебной коллекции позволяет кардинально изменить удельный вес и содержание каждой части следующим образом.

Вводная часть занятия содержит формулировку его цели, ответы на вопросы студентов по домашнему заданию, контроль его выполнения в любой форме и обсуждение понятий, утверждений и методов, знание которых необходимо для продуктивной работы на занятии. Продолжительность вводной части может достигать 20 минут.

Основная часть занятия продолжительностью 40–50 минут включает в себя обсуждение типовых задач по теме занятия, методов и алгоритмов их решения, целесообразности и возможности использования при этом компьютерной поддержки, разбор конкретных примеров реализации этих алгоритмов, а также самостоятельное решение задач под руководством и при необходимой помощи преподавателя. В основную часть занятия входит также обучение студентов умению проверять, анализировать и интерпретировать полученные результаты, в том числе, результаты, полученные с помощью компьютера.

Заключительная часть занятия содержит анализ тех знаний и умений, которые осваивались на занятии и должны быть закреплены при выполнении домашнего задания. Полезно также обсудить, при изучении каких разделов данного курса и других дисциплин эти знания и умения будут необходимы. Поскольку в новой стратегии обучения делается акцент на самостоятельной работе студентов, на выдачу домашнего задания и подробные рекомендации по его выполнению необходимо отвести достаточное время — не менее 15–20 минут.

1 занятие. Матрицы. Действия с матрицами

Цель занятия: научиться оперировать матрицами так же, как вещественными числами, т.е. складывать матрицы, умножать их на числа, перемножать матрицы, разобраться в особенностях алгебры матриц.

1. Обсудить следующие вопросы:
   • Что такое матрица? Что означает запись

     A = (aik) ,   i = 1, … ,m ,   k = 1, … ,n ?

   • Какие матрицы можно складывать и по какому правилу? Как умножить матрицу на число?
   • Какие матрицы можно перемножать и по какому правилу? Как Вы понимаете выражение

     cij = k = 1 n∑ aik bkj,   i = 1, … ,m  j = 1, … ,n ?

   • Какая матрица называется транспонированной по отношению к матрице A размера m × n ? Какой размер имеет транспонированная матрица?
2. Сложение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц: [1], примеры 1.1–1.3, 1.10.
3. Умножение матриц: [1], примеры 1.4, 1.6.
4. Многочлен от матрицы: [1], пример 1.9.

Задание на дом:

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Матрицы”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. используя указания в пакете РЕШЕБНИК.ВМ [5], научиться набирать в полях Word простые формулы и матрицы;
4. решить задачи и упражнения и оформить документ;
5. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку;
6. подготовиться к следующему занятию, используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по темам “Определители” и “Правило Крамера”.

 

2 занятие. Определители, их свойства и вычисление. Системы линейных уравнений, правило Крамера

Цель занятия: изучить основные свойства определителей, научиться вычислять определители любого порядка и применять определители для решения систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера.

 

1. Контрольный опрос: [1], с. 146.
2. Определители: [1], примеры 2.1, 2.2.
3. Правило Крамера: [1], пример 2.8, [2], разд. 2.1, с. 36–38.

Задание на дом:

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по темам “Определители” и “Правило Крамера”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. научиться набирать в полях Word определители и системы уравнений;
4. решить задачи и упражнения и оформить документ;
5. После выполнения пп. 1–4 научить компьютер (ввести в меню Extra соответствующие опции) вычислять определители;
6. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку;
7. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП [4] по темам “Системы линейных уравнений. Метод Гаусса” и “Обратная матрица”.

 

3 занятие. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Обратная матрица

Цель занятия: изучить метод Гаусса (метод исключения неизвестных) и его применение для решения систем линейных алгебраических уравнений и вычисления обратной матрицы.

1. Контрольный опрос
   • Какие преобразования строк матрицы называются элементарными?
   • Rаким преобразованиям системы уравнений соответствуют элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы?
   • Cколько систем уравнений надо решить, чтобы найти матрицу, обратную квадратной матрице A n –го порядка? Какую основную матрицу имеют эти системы и какие у них столбцы свободных членов?
2. Метод Гаусса: [1], примеры 3.1, 3.2.
3. Обратная матрица: [1], примеры 3.4, 3.5; [2], разд. 2.2, с. 39–40.
4. Матричные уравнения: [1], примеры 3.6, 3.7.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по темам “Системы линейных уравнений. Метод Гаусса” и “Обратная матрица”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. научиться набирать в полях Word геометрические векторы;
4. решить задачи и упражнения и оформить документ;
5. после выполнения пп. 1–4 научить компьютер (ввести в меню Extra соответствующие опции) приводить расширенную матрицу системы к гауссовому виду, находить обратную матрицу и решать системы уравнений;
6. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку;
7. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП по теме “Геометрические векторы”.

 

4 занятие. Геометрические векторы

Цель занятия: познакомиться с основными понятиями, связанными с геометрическими векторами; научиться складывать и умножать векторы на число; изучить операции скалярного, векторного и смешанного умножения векторов, их свойства и применение к решению геометрических задач.

1. Контрольный опрос по домашнему заданию: [1], с. 287–289.
2. Линейные операциям с векторами и скалярное произведение векторов: [1], примеры 4.1–4.6.
3. Векторное и смешанное произведение: [1], примеры 4.8–4.10.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Геометрические векторы”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. научиться набирать в полях Word операции с векторами;
4. решить задачи и упражнения и оформить документ;
5. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП “Разложение вектора по базису”, “Операции с векторами в координатной форме”.

 

5 занятие. Разложение вектора по базису. Операции с векторами в координатной форме

Цель занятия: познакомиться с понятием базиса в трехмерном пространстве; научиться оперировать с векторами в координатной форме; вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов в ортонормированном базисе и применять эти умения для решения геометрических задач.

1. Контрольный опрос по домашнему заданию и контрольные вопросы (по выбору) [1], с.289.
2. Разложение вектора по базису. Линейные операции в координатной форме: [1], примеры 5.1, 5.2, [2], разд. 1.1–1.2, с. 11–13.
3. Скалярное произведение в ортонормированном базисе: [1], примеры 5.3–5.5, [2], разд. 1.3, с. 14–15.
4. Векторное и смешанное произведение в ортонормированном базисе: [1], примеры 5.6–5.9, [2], разд. 1.4–1.6, с. 15–20.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по темам “Разложение вектора по базису”, “Операции с векторами в координатной форме”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. после выполнения пп. 1–3 научить компьютер (ввести в меню Extra соответствующие опции) выполнять операции с векторами в координатной форме;
5. решить задачи 1–6 ТР IX “Аналитическая геометрия” (можно использовать компьютерную поддержку) и оформить документ Word;
6. подготовиться к следующим занятиям, используя модули ЭУП по теме “Плоскость и прямая в пространстве”.

 

6–7 занятия. Плоскость и прямая в пространстве

Цель занятий: вывести уравнение плоскости с данным нормальным вектором; канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве; научиться решать задачи аналитической геометрии, используя полученные результаты и операции с геометрическими векторами.

1. Обсудить следующие вопросы:
   • общее уравнение плоскости;
   • уравнение плоскости с данным нормальным вектором;
   • общие, канонические и параметрические уравнения прямой.
2. Плоскость в пространстве: [1], примеры 6.1–6.4.
3. Прямая в пространстве: [1], примеры 6.5–6.7.
4. Взаимное расположение плоскости и прямой: [1], примеры 7.1–7.5.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Плоскость и прямая в пространстве”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. решить задачи 8–14 ТР IX “Аналитическая геометрия” (можно использовать компьютерную поддержку) и оформить в Word’е полностью типовой расчет “Аналитическая геометрия” (задачи 1–6, 8–14) для сдачи преподавателю (или для автоматической проверки);
5. подготовиться к КР “Векторная алгебра, плоскость и прямая в пространстве” по образцу: [1], с. 315. Ответить на вопросы: [1], с. 289–290.

 

8 занятие. КР “Векторная алгебра, плоскость и прямая в пространстве

Задание на дом

Подготовиться к следующему занятию, используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Линейные пространства”.

9 занятие. Линейные пространства

Цель занятия: на примерах изучить понятие линейного пространства; научиться исследовать линейную зависимость систем векторов, находить базис и размерность пространства и разлагать векторы по базису.

1. Контрольный опрос: [1], с. 202.
2. Исследование линейности пространств: [1], примеры 8.1, 8.2, 8.5.
3. Исследование линейной зависимости векторов: [1], примеры 8.6, 8.8, 8.9.
4. Базис и размерность линейного пространства, разложение вектора по базису: [1], примеры 8.12, 8.14, 8.15.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Линейные пространства”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. решить задачу 1 ТР X “Линейная алгебра” [3];
5. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП [4] по теме “Линейные операторы”.

 

10 занятие. Линейный оператор и его матрица

Цель занятия: на примерах различных отображений изучить понятие линейного оператора; на основе определения научиться строить матрицы линейных операторов как по столбцам, так и по строкам, находить матрицы суммы операторов, произведения оператора и числа и композиции линейных операторов.

1. Контрольный опрос: [1], с. 214.
2. Исследование линейности операторов: [1], примеры 9.1–9.3.
3. Матрица линейного оператора: [1], примеры 9.5, 9.6.
4. Действия с операторами и их матрицами: [1], пример 9.7.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по темам “Линейные операторы”, “Матрица линейного оператора”, “Действия с операторами и их матрицами”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку для выполнения действий с матрицами;
5. решить задачи 5, 6 ТР X “Линейная алгебра” [3],
6. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП [4] “Образ и ранг линейного оператора”, “Ядро и дефект линейного оператора”, “Ранг матрицы”, “Исследование оператора по его матрице”.

 

11 занятие. Ранг матрицы. Образ, ядро. ранг и дефект линейного оператора

Цель занятия: уяснить понятия образа, ядра, ранга и дефекта линейного оператора; научиться вычислять ранг матрицы и получать всю информацию об операторе по его матрице.

1. Контрольный опрос: [1], с. 221.
2. Ранг матрицы: [1], примеры 10.1, 10.2, 10.4.
3. Образ, ядро. ранг и дефект линейного оператора: [1], пример 10.7 и [2], разд. 2.6, задачи 4, 6.
4. Исследование оператора по его матрице: [1], пример 10.8.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по темам “Образ и ранг линейного оператора”, “Ядро и дефект линейного оператора”, “Ранг матрицы”, “Исследование оператора по его матрице”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку для приведения матриц к гауссовому виду;
5. решить задачу 8 ТР X “Линейная алгебра” [3].
6. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП [4] по теме “Системы m линейных уравнений c n неизвестными”.

 

12 занятие. Системы линейных уравнений

Цель занятия: научиться исследовать совместность системы линейных уравнений; изучить однородные системы линейных уравнений, условие их нетривиальной совместности; научиться находить фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений; научиться исследовать совместность и находить общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

1. Контрольный опрос: [1], c. 235 и 247.
2. Условия совместности: [1], примеры 11.4, 11.5.
3. Однородные системы линейных уравнений: [1], примеры 11.6, 11.7.
4. Неоднородные системы линейных уравнений: [1], примеры 12.1, 12.2.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Системы m линейных уравнений c n неизвестными”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку для приведения матриц к гауссовому виду;
5. решить задачи 3а), 3б) ТР X “Линейная алгебра” [3]. и оформить в Word’е полностью типовой расчет “Линейная алгебра” (задачи 1,3а,3б,5,6,8) для сдачи преподавателю (или для автоматической проверки);
6. подготовиться к коллоквиуму (контрольной работе) “Линейная алгебра” по образцу: [1], с. 315. Ответить на вопросы: [1], с. 290–293.

 

13 занятие. Коллоквиум (контрольная работа) по линейной алгебре

Задание на дом

Подготовиться к следующему занятию, используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Собственные значения и собственные векторы линейного оператора”.

14 занятие. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Цель занятия: изучить понятия собственного вектора и собственного значения линейного оператора, научиться находить собственные векторы и собственные значения линейного оператора по его матрице.

1. Контрольный опрос: [1], с. 260.
2. Определение собственного значения и собственного вектора: [1], примеры 13.1, 13.2.
3. Отыскание собственных значений и собственных векторов оператора по его матрице: [1], пример 13.3.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Собственные значения и собственные векторы линейного оператора”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку для решения характеристического уравнения и решения систем уравнений;
5. решить задачу 9 ТР X “Линейная алгебра” [3].
6. после выполнения пп. 1–5 научить компьютер (ввести в меню Extra соответствующие опции) находить собственные значения и собственные векторы оператора по его матрице;
7. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку для нахождения собственных значений и собственных векторов оператора по его матрице;
8. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП [4] по теме “Обратный оператор”.

 

15 занятие. Обратный оператор и его матрица. Преобразование координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису

Цель занятия: научиться находить оператор, обратный данному, используя метод Гаусса для вычисления обратной матрицы; изучить понятие матрицы перехода к новому базису и использовать матрицу перехода для нахождения координат вектора и матрицы линейного оператора в новом базисе.

1. Контрольный опрос: [1], с. 267.
2. Обратный оператор и его матрица: [1], пример 14.1.
3. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису: [1], пример 14.2.
4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису: [1], пример 14.3.

Задание на дом:

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по теме “Обратный оператор”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. решить задачи, отмеченные буквой (К), используя компьютерную поддержку для нахождения обратной матрицы и умножения матриц;
5. решить задачи 4, 7 ТР X “Линейная алгебра” [3]. и оформить в Word’е дополнение к типовому расчету “Линейная алгебра” (задачи 4,7,9) для сдачи преподавателю (или для автоматической проверки);
6. подготовиться к следующему занятию, используя модули ЭУП [4] по темам “Кривые 2–го порядка”, “Поверхности 2–го порядка”.

 

16 занятие. Кривые и поверхности 2–го порядка

Цель занятия: научиться приводить уравнение к каноническому виду и определять, какую кривую или поверхность определяет данное уравнение, находить их параметры и изображать на чертеже; научиться использовать метод сечений для исследования формы поверхностей.

1. Контрольный опрос: [1], с. 274.
2. Кривые 2–го порядка: [1], примеры 15.1–15.10.
3. Поверхности 2–го порядка: [1], примеры 15.11–15.14.

Задание на дом

Используя учебный комплекс [1] и модули ЭУП [4] по темам “Кривые 2–го порядка”, “Поверхности 2–го порядка”,

1. ответить на вопросы;
2. изучить решение примеров;
3. решить задачи и упражнения и оформить документ;
4. подготовиться к зачетной работе по образцу [1], с. 317–319.

 

17 занятие. Зачетная работа