Скалярным произведением векторов
| → |
| a |
и
| → |
| b |
называется число, обозначаемое (
| → |
| a |
,
| → |
| b |
) и равное произведению их модулей и косинуса угла j между ними, т.е.
(
,
) = |
| · |
| · cosj, |
Свойства скалярного произведения векторов
Для любых векторов
| → |
| a |
,
| → |
| b |
,
| → |
| c |
и любых чисел α, β:
- (
→ b ,
→ a ) = (
→ a ,
→ b );
- (
→ a ,
→ b +
→ c ) = (
→ a ,
→ b ) + (
→ a ,
→ c );
- (α ·
→ a ,
→ b ) = α · (
→ a ,
→ b );
- (
→ a ,
→ a ) = |
→ a |2 ≥ 0 , причем (
→ a ,
→ a ) = 0 ЬЮ
→ a =
→ 0 .
Из определения скалярного произведения следует, что угол между ненулевыми векторами
| → |
| a |
и
| → |
| b |
определяется формулой
cosj =
|
(1) |
Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол j не определен.
Из формулы (1) следует условие ортогональности векторов:
два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.
^
ЬЮ (
,
) = 0 |
(нулевой вектор можно считать ортогональным любому вектору).
Механический смысл скалярного произведения
Работа A постоянной силы
| → |
| F |
, действующей на материальнную точку, при ее перемещениин из точки A в точку B определяется формулой
A = (
, AB). |
