Векторным произведением векторов
| → |
| a |
и
| → |
| b |
называется вектор
| → |
| c |
, который обозначается
| → |
| c |
= [
| → |
| a |
,
| → |
| b |
] и удовлетворяет следующим трем условиям:
- |
→ c | = |
→ a | · |
→ b | · sinj, где j –угол между векторами
→ a и
→ b ;
→ c ^
→ a и
→ c ^
→ b ;
- Векторы
→ a ,
→ b и
→ c образуют правую тройку, т.е. из конца вектора
→ c кратчайший поворот от вектора
→ a к вектору
→ b виден против часовой стрелки (рис.1).
<
Замечание.Это определение однозначно определяет векторное произведение ненулевых векторов. Если хотя бы один из сомножителей — нулевой вектор, то векторное произведение считается равным нулевому вектору.
Из определения векторного произведения следует, что [
| → |
| a |
,
| → |
| a |
] =
| → |
| 0 |
для любого вектора
| → |
| a |
.
Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Свойства векторного произведения векторов
Для любых векторов
| → |
| a |
,
| → |
| b |
,
| → |
| c |
и любых чисел α, β:
- [
→ b ,
→ a ] = −[
→ a ,
→ b ], т.е. векторное произведение антикоммутативно;
- [
→ a ,
→ b +
→ c ] = [
→ a ,
→ b ] + [
→ a ,
→ c ];
- [α
→ a ,
→ b ] = α[
→ a ,
→ b ].
Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.
||
ЬЮ [
,
] =
|
(нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).
