Пример 1. (Задача о третьем перпендикуляре). Найдем единичный вектор
, ортогональный векторам
= {2, −1, −1} и
= {1, −3, 2}.
Решение. Поскольку векторное произведение [
,
] ортогонально векторам
и
, определим
= [
,
] . По формуле, определяющей координаты векторного произведения, имеем
|
= [
,
] = |
|
|
|
= −5
− 5
− 5
= { −5, −5, −5}. |
Следовательно, искомый вектор
определяется формулой
Пример 2. Даны вершины треугольника A(1, −1, 2), B(5, −6, 2)
и C(1, 3, −1). Найдем длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC (рис.1).
Решение. Из вершины A проводим векторы AB = {4, −5, 0} и AC = {0, 4, −3} . В соответствии с геометрическим смыслом векторного произведения имеем:
1. Вычисляем координаты векторного произведения
| [ AB, AC ] = |
|
|
|
= 15
+ 12
+ 16
= {15, 18, 16}. |
Имеем
2. С другой стороны,
Следовательно,
