Пример 1. Проверим, лежат ли точки A(1, −1, 1) , B(2, 2, 3) , C(3, 1, 3) и D(0, 0, 1) в одной плоскости.
Решение. Вычисляем смешанное произведение векторов AB = {1, 3, 2} , AC = {2, 2, 2} и AD = { −1, 1, 0} :
| ( AB, AC, AD ) = |
|
= 1 · ( −2) − 3 · 2 + 2 · 4 = 0 . |
Так как смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны и, следовательно, точки лежат в одной плоскости.
Пример 2. Даны вершины тетраэдра A(2, 3, 1) , B(4, 1, −2) , C(6, 3, 7) и D( −5, −4, 8) . Найдем длину высоты, опущенной из вершины D на плоскость основания ABC (рис. 1).
Решение. Из вершины A проводим векторы AB = {2, −2, −3} , AC = {4, 0, 6} и AD = { −7, −7, 7} .
В соответствии с геометрическим смыслом смешанногопроизведения имеем:
Vтетр. =
· Vпараллелеп =
| ( AB, AC, AD ) | . |
С другой стороны,
Vтетр. =
SΔABC · h , где SΔABC =
| [ AB, AC ] | . |
Сравнивая эти равенства, получаем
h =
. |
1. Вычисляем смешанное произведение:
| ( AB, AC, AD ) = |
|
= 2 · 42 + 2 · 70 + ( −3) · ( −28) = 308 . |
Следовательно, Vтетр. = 308/6 .
2. Вычисляем координаты векторного произведения:
| [ AB, AC ] = |
|
= −12
− 24
+ 8
= { −12, −24, 8} . |
3. Имеем
| SΔABC | = |
|
√
|
= | 14 . |
4. Таким образом,
| h | = |
|
= |
= 11 . |
