Пример 1. Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение
| 3x2 + 5y2 = 15 . |
Решение. Разделив обе части уравнения на 15, получим
+
= 1 . |
Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат O(0, 0) и полуосями a = √
| 5 |
и b = √
| 3 |
(рис.1).
Пример 2. Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение
| 100x2 + 25y2 + 200x − 100y − 200 = 0 . |
Решение. Выделим полные квадраты
| 100(x + 1)2 + 25(y − 2)2 = 400 |
и разделим обе части уравнения на 400. Получим
+
= 1 . |
Это каноническое уравнение эллипса с центром в точке O‘( −1, 2) и полуосями a = 2 и b = 4 (рис.2, исходная система координат не изображена).
Пример 3. Выясним, какую линию на плоскости описывает уравнение
| x = − 2√ |
. |
Решение. Так как уравнение содержит корень, то сначала необходимо от него избавиться. Возводим обе части уравнения в квадрат. Не забывайте, что при этом мы приобретаем лишние решения уравнения (и, следовательно, лишние точки на кривой).
| x2 = 4( −5 − 6y − y2) . |
Переносим все члены уравнения в левую часть и выделяем полные квадраты:
| x2 + 4(y + 3)2 = 16 . |
Разделим обе части уравнения на 16:
+
= 1 . |
Это уравнение описывает эллипс с центром в точке O‘(0, −3) и полуосями a = 4 и b = 2 . Так как в исходном уравнении перед корнем стоит знак −, то оно описывает левую половину эллипса для точек котрой x ≤ 0 (рис.3, исходная система координат не изображена).
