Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Примеры

29 января 2008 | Рубрика: Книги

Пример 1. Покажем, что точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости xy + 1 = 0 .

Решение. Подставляем координаты точки x = 1 , y = 2 и z = 10 в уравнение плоскости xy + 1 = 0 . Получаем

1 − 2 + 1 = 0 Ю 0 ≡ 0

Так как уравнение превратилось в тождество, точка M(1, 2, 10) принадлежит плоскости xy + 1 = 0 .

Пример 2. Найдем точки пересечения плоскости xy + 1 = 0 с осями координат.

Решение.

1. Чтобы найти точку пересечения плоскости xy + 1 = 0 с осью OX , надо решить систему уравнений

y = 0
z = 0
xy + 1 = 0

Получаем x = −1 , y = 0 , z = 0 .

2. Чтобы найти точку пересечения плоскости xy + 1 = 0 с осью OY , надо решить систему уравнений

x = 0
z = 0
xy + 1 = 0

Получаем x = 0 , y = 1 , z = 0 .

3. Чтобы найти точку пересечения плоскости xy + 1 = 0 с осью OZ , надо решить систему уравнений

x = 0
y = 0
xy + 1 = 0

Система не имеет решений. Следовательно, плоскость xy + 1 = 0 параллельна оси OZ .

Пример 3. Найдем нормальный вектор плоскости xz + 2 = 0 и опишем ее положение в пространстве относительно координатных осей.

Решение.

1. В качестве нормального вектора плоскости xz + 2 = 0 возьмем вектор, координаты которого равны коэффициентам при x , y и z в уравнении плоскости, т.е.

n

= {1, 0, −1} .

2. Находим точки пересечения плоскости xz + 2 = 0 с осями координат, решая соответствующие системы уравнений (см. задачу 2). Получаем точки пересечения: с осью OX ( −2, 0, 0) , с осью OZ (0, 0, 2) , с осью OY плоскость не пересекается.Следовательно, плоскость xz + 2 = 0 параллельна оси OY .

Пример 4. Составим уравнение координатной плоскости XOY .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) перпендикулярно данному вектору

n

= {A, B, C} имеет вид

 

A (xx0) + B (yy0) + C (zz0) = 0.
(1)

Выберем в качестве нормального вектора плоскости XOY базисный вектор

k

= {0, 0, 1} , а в качестве точки, принадлежащей плоскости XOY , — начало координат O(0, 0, 0) . Тогда уравнение (1) приобретает вид:

 

0 (x − 0) + 0 (y − 0) + 1 (z − 0) = 0  Ю  z = 0.

Таким образом, уравнение плоскости XOY : z = 0 .

Пример 5. Найдем углы между плоскостями 2x + 2y + z − 1 = 0 и x + z − 1 = 0 .

Решение. Поскольку двугранные углы между плоскостями равны углам между нормальными векторами этих плоскостей (

n

1 = {2, 2, 1} и

n

2 = {1, 0, 1} ), имеем

 

cosj =

n

1,  

n

2 )

n

1 | · | 

n

2 |

  = 

2 · 1 + 2 · 0 + 1 · 1

22 + 22 + 12

 √

12 + 02 + 12

  = 

3
3 √

2

  = 

2
2

 .

Таким образом, углы между плоскостями равны π/4 и 3π/4 .

Пример 6. Составим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M(1, 2, 3), N(0, 2, −2) и P( 3, 1, 0) (рис.1).

Решение.

1. Пусть Q(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим векторы MQ = {x − 1, y − 2, z − 3} , MN = { −1, 0, −5} и MP = {2, −1, −3} . Точка Q принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы MQ , MN и MP компланарны.

2. Условие компланарности трех векторов

x −1 y −2 z −3
−1 0 −5
2 −1 −3
= 0 .

 

3. Разлагая определитель по первой строке, после несложных преобразований получаем уравнение искомой плоскости:

5x + 13yz − 28 = 0 .

Рекомендуем сделать проверку, подставив в уравнение плоскости координаты точек M, N и P .

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь