Канонические и параметрические уравнения прямой

Поставим следующую задачу:

Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M(x0, y0, z0) параллельно данному вектору

→

a

= {l, m, n} ≠

→

0

(вектор

→

a

называется направляющим вектором прямой).

Решение. Пусть N(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор MN = {x − x0,  y − y0,  z − z0} (рис.1).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору

→

a

= {l,  m,  n} , т.е. когда их координаты пропорциональны:

 

x − x0 l   =   y − y0 m   =   z − z0 n

(1)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания.

1. От канонических уравнений легко перейти к общим уравнениям прямой, например:

x − x0 l   =  y − y0 m y − y0 m   =  z − z0 n

 

2. Одна или две координаты направляющего вектора прямой

→

a

могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.

Если в (1) ввести параметр t

x − x0 l   =   y − y0 m   =   z − z0 n   =   t,

то уравнения прямой можно записать в виде

x = x0 + l·t y = y0 + m·t z = z0 + n·t

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Они имеют механический смысл: если параметр t рассматривать как время, а x,  y,  z — как координаты материальной точки, то параметрические уравнения описывают равномерное прямолинейное движение точки со скоростью

→

v

= {l,  m,  n} ,   (x0, y0, z0) —начальное положение точки (при t = 0 ).