e_c-301

Примеры

Пример 1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 2, −3) перпендикулярно прямой

2x − y + z + 1 = 0 x + 3y − z − 2 = 0

Решение. Так как искомая плоскость перпендикулярна данной прямой, то ее нормальный вектор

→

n

коллинеарен направляющему вектору прямой

→

a

и, следовательно, мы можем принять

→

n

=

→

a

.

1. Находим направляющий вектор прямой

→

a

как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, пересечением которых является данная прямая:

 

→ a = [  → n 1,   → n 2 ] =

→ i → j → k 2 −1 1 1 3 −1

=   − 2 → i + 3 → j + 7 → k  .

 

2. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 2, −3) перпендикулярно нормальному вектору

→

n

=

→

a

= { −2, 3, 7} :

 

( −2) (x − 1) + 3 (y − 2) + 7 (z + 3) = 0  Ю  2x − 3y − 7z − 17 = 0.

 

Пример 2. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, −2, 3) параллельно прямым

x − 2 3   =   y + 1 − 2   =   z 1         и         x 2   =   y − 2 − 1   =   z + 3 0  .

Решение.

1. Находим нормальный вектор плоскости. Так как плоскость параллельна двум прямым, то ее нормальный вектор

→

n

перпендикулярен направляющим вектрам обеих прямых, т.е.

→

n

  ^  

→

a

1 = {3, −2, 1}     и    

→

n

  ^  

→

a

2 = {2, −1, 0} .Следовательно, мы можем положить

→

n

= [ 

→

a

1,  

→

a

2 ] :

 

→ n = [  → a 1,   → a 2 ] =

→ i → j → k 3 −2 1 2 −1 0

= 1 → i + 2 → j + 1 → k  .

 

2. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, −2, 3) перпендикулярно нормальному вектору

→

n

= {1, 2, 1} :

 

1 (x − 1) + 2 (y + 2) + 1 (z − 3) = 0  Ю  x + 2y + z = 0 .

Пример 3. Найдем точку пересечения прямой

x − 1 2   =   y + 1 0   =   z − 1

и плоскости

2x − 3y + z − 8 = 0.

 

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще говоря, надо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными (2 уравнения прямой и 1 уравнение плоскости). Такой способ решения, безусловно, предпочтителен при использовании компьютера.

Второй способ решения использует параметрические уравнения прямой.

1. Составляем параметрические уравнения прямой. Вводя параметр t :

x − 1 2   =   y + 1 0   =   z − 1   =   t ,

получаем параметрические уравнения прямой:

x = 2t + 1 y = −1 z = −t

 

2. Находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости, подставляя x , y и z в уравнение плоскости:

2 (2t + 1) − 3 ( −1) + 1 ( −t) − 8 = 0  Ю  t0 = 1 .

 

3. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = 1 , получаем:

x0 = 3,  y0 = −1,  z0 = −1 .

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости: (3, −1, −1) .

Проверка. Подставляя координаты точки в уравнения прямой и плоскости, убеждаемся, что они обращаются в тождества.

Пример 4. Найдем координаты проекции точки P(1, 2, −1) на плоскость 3x − y + 2z − 27 = 0.

Решение. Проекция P‘ точки P на плоскость является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на эту плоскость (рис.1).

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. В качестве направляющего вектора

→

a

искомой прямой можно взять нормальный вектор плоскости

→

n

= {3, −1, 2} . Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

 

x − 1 3   =   y − 2 − 1   =   z + 1 2  .

2. Находим точку пересечения этой прямой с плоскостью. Для этого записываем уравнения прямой в параметрической форме:

x = 3t + 1 y = −t + 2 z = 2t − 1

Подставля x , y и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

3 (3t + 1) − 1 ( −t + 2) + 2 (2t − 1) − 27 = 0  Ю  t0 = 2 .

Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = 2 , получаем:

x0 = 7,  y0 = 0,  z0 = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки P на плоскость: P‘ (7, 0, 1) .

Проверка. Подставляя координаты точки в уравнения прямой и плоскости, убеждаемся, что они обращаются в тождества.

Пример 5. Найдем координаты точки Q , симметричной точке P(2, −1, 2) относительно прямой

x − 1 1   =   y 0   =   z + 1 − 2

Решение. Искомая точка Q лежит на прямой, перпендикулярной даннойи пересекающей ее в точке P‘ , причем точка P‘ делит отрезок PQ пополам (рис. 2).

1. Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку P перпендикулярноданной прямой (на рис. 2 эта плоскость изображена). Взяв в качестве нормального вектора

→

n

направляющий вектор даннойпрямой

→

n

=

→

a

= {1, 0, −2} , получаем

 

1(x − 2) + 0(y + 1) − 2(z − 2) = 0  Ю  x − 2z + 2 = 0 .

 

2. Находим точку пересечения этой плоскости с данной прямой. Для этого записываем уравнения прямой в параметрической форме:

x = t + 1 y = 0 z = −2t − 1

Подставля x , y и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости: t0 = −1 .Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = −1 , получаем: xP‘ = −3 , yP‘ = −2 и zP‘ = 11 .

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки P на плоскость: P‘ (0, 0, 1) .

3. Находим координаты точки Q , симметричной точке P относительно данной прямой. Поскольку точка P‘ делит отрезок PQ пополам, ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек P и Q . Имеем:

xP‘ = xP + xQ 2   Ю  xQ = 2xP‘ − xP = −2 ,

 

y P‘ = yP + yQ 2   Ю  yQ = 2yP‘ − yP = 1 ,

 

zP‘ = zP + zQ 2   Ю  zQ = 2zP‘ − zP = 0 .

Точка Q имеет координаты ( −2, 1, 0) .

Пример 6. Найдем координаты точки Q , симметричной точке P( −4,   − 1,  11) относительно плоскости x − y = −1 .

Решение.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку P перпендикулярно данной плоскости. В качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости:

→

a

=

→

n

= {1,   − 1,  0} . Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

 

x + 4 1   =   y + 1 − 1   =   z − 11 0  .

 

2. Находим координаты точки пересечения P‘ этой прямой с заданной плоскостью, решая систему уравнений

x + 4 1   =   y + 1 − 1 z − 11 = 0 x − y = −1

Получаем xP‘ = −3 , yP‘ = −2 и zP‘ = 11 .

3. Находим координаты точки Q , симметричной точке P относительно данной плоскости. Поскольку точка P‘ делит отрезок PQ пополам, ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек P и Q . Имеем

xP‘ = xP + xQ 2   Ю  xQ = 2xP‘ − xP = −2 ,

 

yP‘ = yP + yQ 2   Ю  yQ = 2yP‘ − yP = −3 ,

 

zP‘ = zP + zQ 2   Ю  zQ = 2zP‘ − zP = 11 .

Точка Q имеет координаты ( −2, −3, 11) .