Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.
Поверхностью 2–го порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением
| Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0 |
где A2 + B2 + C2 ≠ 0 .
Цилиндрические и сферические координаты определяются точкой O , исходящим из нее лучом l и единичным вектором
| → |
| n |
, перпендикулярным l (рис. 2).
Проведем через точку O перпендикулярно вектору
| → |
| n |
плоскость P и обозначим проекцию точки M на эту плоскость M‘ .
В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ , j и z , где ρ и j — полярные координаты точки M‘ , а z — проекция вектора OM на вектор
| → |
| n |
.
Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор
| → |
| n |
— с положительной частью оси аппликат (рис. 3).
Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее цилиндрические координаты ρ , j и z по формулам
| x = ρcosj, y = ρsinj, z = z. |
В сферических координатах положениеточки M определяется числами ρ , j и θ , где ρ = |OM| , j — полярный угол точки M‘ , а θ — угол между векторами
| → |
| n |
и OM .Мы будем отсчитывать угол θ от вектора
| → |
| n |
по направлению к вектору OM . Угол θ принимает значения от 0 до π .
Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор
| → |
| n |
— с положительной частью оси аппликат (рис. 4), то
Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее сферические координаты ρ , j и θ по формулам
| x = ρcosjsinθ, y = ρsinjsinθ, z = ρcosθ |
