Эллипсоид, сфера

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

x2 a2   +   y2 b2   +   z2 c2   =  1 ,

где a,  b,  c>0 — параметры эллипсоида. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида, а система координат, в которой эллипсоид описывается каноническим уравнением, называется канонической.

Из уравнения эллипсоида следует, что поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, начало координат является центром эллипсоида.

Исследуем форму эллипсоида с помощью метода сечений (рис.1).

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями z = h , параллельными плоскости XOY :

x2 a2   +   y2 b2   =  1  −   h2 c2 z = h

 

При | h |<c в сечении получается эллипсы с полуосями a* = a √

1 − h2/c2

и b* = b √

1 − h2/c2

.

При h = ± c плоскость  z = h касается эллипсоида в точках (0, 0, ± c) .

При | h |>c плоскость z = h не пересекает эллипсоид (в сечении — пустое множество).

Аналогично исследуются сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям XOZ и YOZ . В частности,

x2 a2   +   z2 c2   =  1 y = 0

и

y2 b2   +   z2 c2   =  1 x = 0

т. е. в сечении координатными плоскостями y = 0 и x = 0 также получаются эллипсы.

Изучив тройной интеграл, Вы сможете доказать, что объем эллипсоида с полуосями a, b и c равен 4πabc/3.

В частном случае a = b = c = R   имеем уравнение сферы

x2 + y2 + z2 = R2 .