Определение 1. Функцией n переменных u (x1, x2, … , xn) называется отображение u: Rn → R , т.е. любое правило, которое каждой точке x = (x1, x2, … , xn) О D М Rn ставит в соответствие действительное число u О R .
D М Rn называется областью определения функции u и записывается D(u) .
Функцию n переменных записывают так: u = f(x1, x2, … , xn) .
Пространство Rn считаем евклидовым с ортонормированным базисом.
Определение 2. Множество точек x = (x1, x2, … , xn) О Rn , удовлетворяющих неравенству
| (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + … + (xn − an)2 < δ2 |
называется открытым n–мерным шаром радиуса δ с центром в точке a = (a1, a2, … , an) , или δ–окрестностью точки a .
Символом Oδ(a) обозначается т.н. проколотая окрестность точки a = (a1, a2, … , an) О Rn , т.е. множество точек M(x1, x2, … , xn) О Rn , удовлетворяющих неравенствам
| 0 < (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + … + (xn − an)2 < δ2. |
Определение 3.
- Точка a называется внутренней точкой множества M М Rn , если существует окрестность точки a, все точки которой принадлежат данному множеству M.
- Точка a называется граничной точкой множества M М Rn , если любая окрестность точки a содержит как точки принадлежащие данному множеству M, так и не принадлежащие этому множеству.
- Множество всех граничных точек множества называется его границей.
- Точка a называется предельной точкой множества, если любая окрестность точки a содержит точки принадлежащие данному множеству, отличные от a.
Определение 4.
- Множество называется открытым, если все его точки внутренние.
- Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
- Множество называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре.
- Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей данному множеству.
- Открытое связное множество называется областью.
