Пример 1. Определим, какая поверхность является графиком функции z = x2 − y2 , и изобразим ее на чертеже.
Решение. Уравнение z = x2 − y2 является каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Следовательно, график функции 2–х переменных z = x2 − y2 — гиперболический параболоид, или седло (рис. 1).
Пример 2. Найдем линии уровня C = 1, 0, − 1 скалярного поля
|
Решение. Линии уровня C скалярного поля z(x,y) описываются уравнением
|
1. При C = 1 линия уровня поля z = x2 − y2
|
— гипербола с вершинами на оси OY и полуосями a = b = 1 .
2. При C = 0 линия уровня поля u = x2 − y2
|
— пара пересекающихся прямых x + y = 0 и x − y = 0 .
3. При C = − 1 линия уровня поля u = x2 − y2
|
— гипербола с вершинами на оси OX и полуосями a = b = 1 .
Пример 3. Найдем поверхности уровня кулоновского потенциала поля точечного заряда, помещенного в начале координат.
Решение.
1. Потенциал j кулоновского поля точечного заряда e , помещенного в начале координат, описывается формулой
|
2. Поверхности уровня C (эквипотенциальные поверхности) определяются уравнением
|
Т.е. эквипотенциальные поверхности точечного заряда— сферы.
