Условия дифференцируемости

Пусть функция u = f(x1, x2,  … , xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a1, a2,  … , an) .

Определение 1. Функция u = f(x1, x2,  … , xn) называется дифференцируемой в точке a = (a1, a2,  … , an) , если ее полное приращение

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,  … , an + Δxn) − f(a1, a2,  … , an)

можно представить в виде

Δu = A1 · Δx1 + A2 · Δx2 + … + An · Δxn + α1 · Δx1 + α2 · Δx2 + … + αn · Δxn,

(1)

где Ak — некоторые числа, не зависящие от Δxk ( k = 1,2, … ,n ), αk — функции Δx1,  … , Δxn , бесконечно малые при Δx1 → 0,  … , Δxn → 0 и равные нулю при Δx1 = 0,  … , Δxn = 0 .

Пусть ρ = √

(Δx1)2 + … + (Δxn)2

— расстояние между точками (x1,  … , xn) и   (x1 + Δx1,  … , xn + Δxn) . Тогда определение (1) можно записать в эквивалентной форме:

Δu = A1 · Δx1 + A2 · Δx2 + … + An · Δxn + o(ρ),

(2)

где o(ρ)/ρ → 0 при ρ → 0 и o(0) = 0 .

Выражение

A1 · Δx1 + A2 · Δx2 + … + An · Δxn

— линейная относительно Δx1, … ,Δxn часть приращения, o(ρ) — бесконечно малая более высокого порядка, чем ρ .

Определение 2. Если функция u = f(x1, x2,  … , xn) дифференцируема в точке a = (a1, a2,  … , an) , то линейная относительно Δx1,  … , Δxn часть ее приращения называется дифференциалом (или полным дифференциалом) функции u в точке a .

Таким образом

du(a) = A1 · Δx1 + A2 · Δx2 + … + An · Δxn.

Теорема 1. Если функция u = f(x1, x2,  … , xn) дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова «Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 126).

Необходимое условие дифференцируемости:

Теорема 2. Если функция u = f(x1, x2,  … , xn) дифференцируема в точке a , то в этой точке существуют частные производные по каждому аргументу x1,  … , xn , причем

∂u ∂xk  (a) = Ak,

где Ak — числа в определении (1).

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова «Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 122).

Из этой теоремы следует, что приращение дифференцируемой функции можно записать в виде

Δu = ∂u ∂x1 (a) Δx1 + … + ∂u ∂xn (a) Δxn + α1 Δx1 + α2 Δx2 + … + αn Δxn

и ее дифференциал

du(a) = ∂u ∂x1 (a) Δx1 + … + ∂u ∂xn (a) Δxn.

Достаточное условие дифференцируемости:

Теорема 3. Если функция u = f(x) имеет в окрестности точки a частные производные, непрерывные в этой точке, то f(x) дифференцируема в точке a .

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова «Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». М.: Изд–во МЭИ, 2002 (стр. 124).