Проект EduXXI
Модификатор AcademiaXXI
Учебные пакеты
Программы
Решение задач
Методика
Новости
Киоск
Конкурс
Доска объявлений
Вопросы и ответы
Главная страница
English Главная страница Обратная связь Карта сайта

Предварительные сведения

05 марта 2017 | Рубрика: Книги

Определение дифференцируемой функции одной переменной
Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке а, если ее приращение Δy = f(ax) − f(a) можно представить в виде

Δy = A· Δx + ox) ,

где A не зависит от Δx и ox) — бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx.

Определение производной функции одной переменной
Производной функции y = f(x) в точке a называется предел

lim
Δx → 0

 

f(a + Δx) − f(a)
Δx

.

Производные основных элементарных функций

( xα ) = α xα − 1
(ax ) = ax lna (logax) ‘ = 

1
x lna
(ex ) = ex (lnx)’ =

1
x
(sinx)’ = cosx (arcsin x)’ =

1

1 − x2
(cosx)’ = − sinx (arccos x) ‘ = −  

1

1 − x2
(tg x)’ = 

1
cos2x
(arctg x)’ = 

1
1 + x2
(ctg x)’ = −  

1
sin2x
(arcctg x)’ = −  

1
1 + x2
(sh x)’ = ch x (Arsh x)’ =

1

x2 + 1
(ch x)’ = sh x (Arch x) ‘ =  

1

x2 − 1
(th x)’ = 

1
ch2x
(Arth x)’ = 

1
1 − x2
(cth x)’ = −  

1
sh2x
(Arcth x)’ =  

1
1 − x2

Правила дифференцирования
Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции и C — постоянная функция, то

  1. C ‘ = 0
  2. (u + v)’ = u‘ + v
  3. (Cu)’ = Cu
  4. (uv)’ = uv + uv
  5. u
    v
    =  

    uvuv
    v2

            (v ≠ 0).

Геометрический смысл производной
Значение производной f‘(a) равно тангенсу угла между касательной к графику функции f(x) в точке (a, f(a)) и положительной частью оси Ox.

Односторонние производные
Если существует предел

lim
Δx → + 0

 

f(a + Δx) − f(a)
Δx

      (здесь Δx → 0, Δx > 0) ,

то этот предел называется правой производной функции f(х) в точке a и обозначается символом f ‘(a + 0).

Если существует предел

lim
Δx → −0

 

f(a + Δx) − f(a)
Δx

      (здесь Δx → 0, Δx < 0) ,

то этот предел называется левой производной функции f(х) в точке a и обозначается символом f ‘(a −0).

Производная сложной функции
Если функция u(x) дифференцируема в точке х0 , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0) , тогда сложная функция F(x) = f(u(x)) дифференцируема в точке x0 , причем

F ‘(x0) = f ‘(u0) · u ‘(x0).

 

Copyright: А.И.Кириллов © 2024
Сделано на "Интернет Фабрике"
Проект EduXXI | Модификатор AcademiaXXI | Учебные пакеты | Программы | Решение задач | Методика | Новости | Киоск | Конкурс | Вопросы и ответы | Доска объявлений
Главная страница | Карта сайта | Обратная связь