Предварительные сведения

Определение дифференцируемой функции одной переменной
Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке а, если ее приращение Δy = f(a+Δx) − f(a) можно представить в виде

Δy = A· Δx + o(Δx) ,

где A не зависит от Δx и o(Δx) — бесконечно малая более высокого порядка, чем Δx.

Определение производной функции одной переменной
Производной функции y = f(x) в точке a называется предел

lim Δx → 0   f(a + Δx) − f(a) Δx .

Производные основных элементарных функций

( xα ) ‘ = α xα − 1
(ax ) ‘ = ax lna	(logax) ‘ =  1 x lna
(ex ) ‘ = ex	(lnx)’ = 1 x
(sinx)’ = cosx	(arcsin x)’ = 1 √ 1 − x2
(cosx)’ = − sinx	(arccos x) ‘ = −   1 √ 1 − x2
(tg x)’ =  1 cos2x	(arctg x)’ =  1 1 + x2
(ctg x)’ = −   1 sin2x	(arcctg x)’ = −   1 1 + x2
(sh x)’ = ch x	(Arsh x)’ = 1 √ x2 + 1
(ch x)’ = sh x	(Arch x) ‘ =   1 √ x2 − 1
(th x)’ =  1 ch2x	(Arth x)’ =  1 1 − x2
(cth x)’ = −   1 sh2x	(Arcth x)’ =   1 1 − x2

Правила дифференцирования
Если u(x) и v(x) — дифференцируемые функции и C — постоянная функция, то

1. C ‘ = 0
2. (u + v)’ = u‘ + v‘
3. (Cu)’ = Cu‘
4. (uv)’ = u‘v + uv‘

5. u v

   ‘ =   u‘v − uv‘ v2         (v ≠ 0).

Геометрический смысл производной
Значение производной f‘(a) равно тангенсу угла между касательной к графику функции f(x) в точке (a, f(a)) и положительной частью оси Ox.

Односторонние производные
Если существует предел

lim Δx → + 0   f(a + Δx) − f(a) Δx       (здесь Δx → 0, Δx > 0) ,

то этот предел называется правой производной функции f(х) в точке a и обозначается символом f ‘(a + 0).

Если существует предел

lim Δx → −0   f(a + Δx) − f(a) Δx       (здесь Δx → 0, Δx < 0) ,

то этот предел называется левой производной функции f(х) в точке a и обозначается символом f ‘(a −0).

Производная сложной функции
Если функция u(x) дифференцируема в точке х0 , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0) , тогда сложная функция F(x) = f(u(x)) дифференцируема в точке x0 , причем

F ‘(x0) = f ‘(u0) · u ‘(x0).