Теорема 1. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) и ее аргументы x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t0 , причем x(t0) = x0 , y(t0) = y0 .
Тогда сложная функция z = f(x(t), y(t)) переменной t дифференцируема в точке t0 и ее производная вычисляется по формуле
|
(1) |
Доказательство. Так как функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t = t0 , то их приращения Δx и Δy , соответствующее приращению аргумента Δt , представимы в виде:
|
(2) |
где α1 и β1 — бесконечно малые функции при Δt → 0 .
Так как функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) , где x0 = x(t0) , y0 = y(t0) , то ее приращение Δz , соответствующее приращениям аргументов Δx и Δy , представимо в виде
|
(3) |
где α и β — бесконечно малые функции при Δx → 0 , Δy → 0 .
Из дифференцируемости функций x(t) , y(t) в точке t0 следует их непрерывность в этой точке, т.е. Δx → 0 , Δy → 0 при Δt → 0 . Поэтому α → 0 и β → 0 при Δt → 0 .
Подставляя выражения (2) в формулу (3), получаем
|
(4) |
Здесь
|
— бесконечно малая функция при Δt → 0 .
Обозначив в (4) выражение в скобках буквой A (A не зависит от Δt), получаем
|
т.е. приращение Δz представлено как сумма линейной части приращения Δt и бесконечно малой более высокого порядка, чем Δt . Отсюда следуют дифференцируемость сложной функции z = f(x(t), y(t)) в точке t = t0 и формула (1) для dz / dt в этой точке. Теорема доказана.
Аналогично формулируются и доказываются теоремы о дифференцируемости сложной функции любого числа переменных. Например:
Теорема 2. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) и ее аргументы x = x(u, v) и y = y(u, v) дифференцируемы в точке (u0, v0) , причем x(u0, v0) = x0 , y(u0, v0) = y0 .
Тогда сложная функция z = f(x(u, v), y(u, v)) переменных u и v дифференцируема в точке (u0, v0) и ее частные производные вычисляются по формулам
|
(5) |
|
(6) |
(Все производные в этих формулах вычисляются в соответствующих точках.)
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецова, В.И. Прохоренко, В.Ф. Сафонова «Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения». М.: Изд–во МЭИ, 2002. (Стр. 134.)
Инвариантность формы полного дифференциала
Пусть функция z = f(x, y) , где x и y — независимые переменные, дифференцируема в некоторой точке (x0, y0) . Известно, что ее дифференциал в этой точке определяется формулой
|
где dx = Δx и dy = Δy — приращения независимых переменных x и y .
Пусть теперь x и y — не независимые переменные, а функции x = x(u, v) и y = y(u, v) , дифференцируемые в точке (u0, v0) . Тогда по теореме 2 сложная функция z = f(x(u, v), y(u,v)) переменных u и v дифференцируема в точке (u0, v0) . Следовательно, ее дифференциал определяется формулой
|
Подставляя сюда
| ∂z |
| ∂u |
(u0, v0) и
| ∂z |
| ∂v |
(u0, v0) , определяемые формулами (5) и (6), и выполняя простые преобразования, получаем
|
|
Таким образом, дифференциал функции z = f(x, y) , когда x и y являются функциями, совпадает по форме с дифференциалом функции z = f(x,y) , когда x и y — независимые переменные. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.
Следует однако иметь в виду, что в случае независимых переменных x и y их дифференциалы dx и dy совпадают с приращениями Δx и Δy . В случае, когда x и y сами являются функциями, их дифференциалы, вообще говоря, не совпадают с приращениями Δx и Δy , а являются лишь их линейными частями.
Свойство инвариантности формы полного дифференциала распространяется на функции любого числа переменных.
