Пример 1. Покажем, что поверхность
|
в точке O(0, 0, 0) не имеет нормали и, следовательно, касательной плоскости.
Решение.
1. Находим частные производные функции F(x,y,z) = x2 + y2 − z2
|
В точке O(0, 0, 0) F‘2x + F‘2y + F‘2z = 0 , поэтому эта точка особая. А так как она является вершиной конуса (см. рис. 1), то очевидно, что нормального к поверхности вектора в этой точке нет, так же как нет и касательной плоскости.
Пример 2. Найдем уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением
|
в точке a(1, 2, −1) .
Решение.
1. Точка a(1, 2, −1) лежит на данной поверхности, так как при подстановке ее координат в уравнение поверхности получаем тождество:
|
2. Функция F(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + xyz − 6 дифференцируема при всех x, y, z . Вычисляем значения ее частных производных в точке a(1, 2, −1):
| F‘x(a) = 3 · 12 + 2 · ( − 1) = 1; | F‘y(a) = 3 · 22 + 1 · ( − 1) = 11; | F‘z(a) = 3 · ( − 1)2 + 1 · 2 = 5. |
Следовательно, вектор
| → |
| n |
= (1, 11, 5) является нормальным к данной поверхности в точке a .
3. Составляем уравнение касательной плоскости
|
и уравнения нормали
|
Пример 3. Найдем уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением
z = 2x2 − 4y2
в точке a(2, 1, 4) .
Решение.
1. Точка a(2, 1, 4) лежит на данной поверхности, так как при подстановке ее координат в уравнение поверхности получаем тождество.
2. Уравнение поверхности представим в виде:
|
2. Функция F(x,y,z) = 2x2 − 4y2 − z дифференцируема при всех x, y, z . Вычисляем значения ее частных производных в точке a(2, 1, 4) :
| F‘x(a) = 4 · 2 = 8; | F‘y(a) = −8; | F‘z(a) = −1. |
Следовательно, вектор
| → |
| n |
= (8, −8, −1) является нормальным к данной поверхности в точке a.
3. Составляем уравнение касательной плоскости
8(x − 2) + ( − 8)(y − 1) + ( − 1)(z − 4) = 0 Ю 8x − 8y − z − 4 = 0
и уравнения нормали
| x − 2 |
| 8 |
=
| y − 1 |
| − 8 |
=
| z − 4 |
| − 1 |
.
Пример 4. Проведем касательную плоскость к поверхности, заданной уравнением
x2 − y2 − 3z = 0,
перпендикулярно прямой
| x − 1 |
| 4 |
=
| y + 3 |
| 2 |
=
| z − 5 |
| 3 |
.
Решение.
1. Пусть искомая касательная плоскость проходит через точку M0 (x0, y0, z0) . Тогда нормальным к поверхности будет вектор {2x0, −2y0, − 3} . Этот вектор должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой {4, 2, 3}. Поэтому
| 2x0 |
| 4 |
=
| − 2y0 |
| 2 |
=
| − 3 |
| 3 |
Ю x0 = − 2, y0 = 1.
2. Так как точка M0 (x0, y0, z0) принадлежит поверхности x2 − 2y2 − 3z2 = 0 , третью координату z0 определим из уравнения x02 − y02 − 3z0 = 0 . Получаем z0 = 1 .
Таким образом, нормальный вектор
| → |
| n |
= { 2x0, −2y0, − 3} = { −4, −2, −3}
и искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
− 4(x + 2) − 2(y − 1) − 3(z − 1) = 0 Ю 4x + 2y + 3z = − 3.
Пример 5. Проведем касательную плоскость к эллипсоиду
x2 + y2 + 2z2 = 1
параллельно плоскости x − 2y + z = 0 .
Решение.
1. Пусть касательная плоскость проходит через точку M0 (x0, y0, z0) , лежащую на эллипсоиде. Тогда нормальный вектор этой плоскости равен {2x0, 2y0, 4z0}.
2. Так как искомая касательная плоскость параллельна плоскости x − 2y + z = 0 , то их нормальные векторы {2x0, 2y0, 4z0} и {1, −2, 1} коллинеарны , т.е.
| 2x0 |
| 1 |
=
| 2y0 |
| − 2 |
=
| 4z0 |
| 1 |
Ю 2x0 = − y0 = 4z0.
3. Точка M0 (x0, y0, z0) лежит на эллипсоиде. Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению x02 + y02 + 2z02 = 1 .
4. Таким образом, для определения x0, y0, z0) имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
|
Решая эту систему, находим координаты двух возможных точек касания
|
и, соответственно, две касательные плоскости Π1 , Π2:
|
|
Упрощая, получим:
Π1: 2x − 4y + z =
| 21 | |
√
|
;
Π2: − 2x + 4y − z =
| 21 | |
√
|
;
